有限元网格生成方法研究的新进展_关振群

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1、第15卷第1期 2003年1月 计算机辅助设计与图形学学报 JOURNAL OF COMPUTER2AIDED DESIG N 其次,对当前的主要研究热 点,如曲面网格生成、 全六面体网格生成和并行网格生成等进行了阐述;最后,简要地探讨了该领域的发展趋势. 关键词 有限元;网格生成;映射法;基于栅格法;四叉树 八叉树;Delaunay三角化;推进波前法;曲面网格;六面体 网格;并行算法 中图法分类号 TP391 Recent Advances of Research on Finite Element Mesh Generation Methods Guan Zhenqun Song Chao

2、 Gu Yuanxian Sui Xiaofeng (State Kay Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Dalian University of Technology,Dalian 116024) (Department of Engineering Mechanics,Dalian University of Technology,Dalian 116024) Abstract This paper presents the advances of research in mesh generation

3、for finite element computation in last ten years. Firstly , the advanced of the common methods such as mapping methods , grid2based methods (include finite quadtreeoctree methods) , Delaunay triangulation and AFT methods are emphasized; secondly , the main research fields such as surface meshing , a

4、ll2hex meshing and parallel mesh generation are discussed in detail ; finally , the trends of mesh generation are presented briefly. Key words finite element ; mesh generation; mapping method; grid2based method; quadtreeoctree ; Delau2 nay triangulation; AFT; surface mesh; all2hex mesh; parallel alg

5、orithm 原稿收到日期:2002208230.本课题得到国家自然科学基金(10002006)、 国家重点基础研究专项经费(G1999032805)和国家 “八六三” 高技术研 究发展计划专项经费(2001AA412220)资助.关振群,男,1965年生,副教授,主要研究方向为有限元网格生成、 科学计算可视化、CADCAE.宋 超,男,1976年生,博士研究生,主要研究方向为有限元网格生成方法.顾元宪,男,1954年生,教授,博士生导师,主要研究方向为计算力学、 科学 计算可视化、 计算工程软件.隋晓峰,男,1977年生,硕士研究生,主要研究方向为有限元网格生成方法. 1 引 言 有限元网格

6、生成是工程科学与计算科学相交叉 的一个重要研究领域,在经历了30多年发展后的今 天依然十分活跃.一方面,有限元法已成为一种能够 有效地求解各类工程和科学计算问题的通用数值分 析方法;另一方面,计算机硬件运算能力的不断提高 也容许人们对工程和科学计算的规模、 复杂度、 效 率、 精度等方面提出更高的要求.作为有限元走向工 程应用的桥梁的有限元网格生成由此获得了源源不 断的外在动力.同时,有限元网格生成算法研究中的 某些难点问题始终未能获得真正意义上的解决,它 们的研究解决对计算几何与计算数学都具有重要的 理论价值. 有限元网格生成方法研究领域已取得许多重要 成果,形成了独特的方法论体系,提出了许

7、多有效的 算法并研制出一些成功的工程化软件产品.许多学 者对有限元网格生成方法研究进行了概括和总结, 如Thacker ,Ho2Le K,Shephard ,Baker ,George和胡恩球 等 127对 7090年代初期该领域的研究进展作了系 统的回顾与阐述;吕军,魏红宁和Blacker等 8210 对某 些重要分支领域的研究进展进行了评述. 近10年来,有限元网格生成方法研究有两个显 著特点 :(1) 与其它研究领域一样,经历了一个进化 过程,一些方法的研究与应用出现停滞,而另外一些 方法在不断地深入、 完善和发展,成为适应性强、 应 用范围广泛的通用方法 ; (2) 领域和主题在不断扩

8、 展和深入,研究重点由二维平面问题转移到三维曲 面和三维实体问题,从三角形 四面体网格自动生成 转移到四边形 六面体网格自动生成,在并行网格生 成、 自适应网格生成、 贴体坐标网格生成、 各向异性 网格生成等方面亦取得许多重要进展. 2 有限元网格生成的通用方法 2. 1 映射法 映射法既是结构化网格生成方法,又是非结构 化网格生成方法.它的基本步骤是:通过适当的映射 函数将待剖分物理域映射到参数空间中形成规则参 数域;对规则参数域进行网格剖分;将参数域的网格 反向映射回物理空间,从而得到物理域的有限元网 格.映射法可分为保角映射法(conformal mapping method) 1121

9、3 、 基于偏微分方程法(P D E2based meth2 od) 14219 以及代数插值法(algebraic interpolation meth2 od) 20223 三大类. 保角映射法能够处理多于4条边界的单连域问 题,但难于控制单元形状和单元密度,且不能直接应 用于三维问题. Thompson等 14215 首次提出的基于偏 微分方程法,通过数值求解偏微分方程而得到参数 空间与物理空间之间的映射关系.基于偏微分方程 法可细分为椭圆型、 抛物线型和双曲线型三大类,其 中最常用的是椭圆型Poisson方程和Laplace方程网 格生成方法 16219 .基于偏微分方程法主要应用于

10、CFD(computational fluid dynamics)领域的贴体坐标 (boundary2fitted coordinate)网格生成问题,目前仍在 深入研究和发展中. 代数插值法是一种应用相当广泛的网格生成方 法,它通过代数插值来描述参数空间与物理空间之 间的映射关系,其中最重要的一个类别是超限插值 (transfinite interpolation) 20 ,Zienkiewicz提出的等参映 射就是超限插值的一种特殊形式.超限插值既可适 应特殊的区域边界形状,又可控制所生成单元的形 状和密度,成为代数插值网格生成的一个标准方法. 映射法的优点是算法简单、 速度快、 单元质量

11、 好、 密度可控制,它既可生成结构化网格又可生成非 结构化网格;既可生成四边形单元网格又可生成六 面体单元网格,可用于曲面网格生成,可与形状优化 算法集成等.因此,映射法在众多的商业有限元分析 软件中占有重要的地位. 映射法一般可直接处理单连通域问题,但对于 复杂多连通域问题,需要首先用手工或自动方法将 待剖分域分解成几何形状规则的可映射子区域,然 后在每个子区域内应用映射法.然而在实践中仍有 几个难点需要克服 : (1) 如何自动地将复杂的不可 映射的待剖分域分解成简单的可映射的子区域 ;(2) 如何满足某些物理问题中对网格疏密过渡的要求; (3)如何满足子区域之间的网格相容性要求. 子区域

12、分解(特别是三维实体)是应用映射法生 成有限元网格的最大困难,不少学者对此提出了多 种解决方法 24228 ,其中中轴线法和中面法具有代表 性. Tam与Armstrong 24 首次提出可用中轴线法将二 维待剖分域分解为简单子区域,随后Price与Arm2 strong等 25226 ,29 提出用中面法将三维待剖分域分解 成简单子区域.由于中轴线法 中面法得到的子区域 一般具有可映射特性,因此可以将映射法与中轴线 法 中面法相结合形成复杂域全自动网格生成方法. 目前,二维问题的中轴线提取算法已经相当成熟,而 三维问题的中面提取算法还存在一些问题,特别是 几何适应能力问题. 对于网格疏密过渡

13、问题和网格相容性问题,李 华与程耿东等 30231提出了一种在正方形子区域上实 现网格在两个坐标方向均能过渡的全四边形单元生 成方法 模板法.将该方法和映射法结合可以有 效地在两个坐标方向上实现网格疏密过渡以及对局 部点或局部区域进行网格加密处理,而对没有网格 疏密过渡要求的区域可以生成和映射法一致的结构 化网格.在此基础上,李华和程耿东 32 又提出了三 维组合式模板,实现了立方体子区域上的在三个坐 标方向上均能过渡的全六面体单元生成方法;并通 过采用线性整数目标规划技术求解模板组合参数, 解决了子区域与子区域之间的网格相容性问题. 2. 2 基于栅格法 基于栅格法 (grid 2based

14、 approach)的基本流程: 2 计算机辅助设计与图形学学报2003年 首先用一组不相交的尺寸相同或不同的栅格(cells) 覆盖在目标区域上面,保留完全或部分落在目标区 域之内的栅格,删除完全落在目标区域之外的栅格; 然后对与物体边界相交的栅格进行调整、 剪裁、 再分 解等操作,使其更准确地逼近目标区域;最后对内部 栅格和边界栅格(特别是边界栅格)进行栅格级的网 格剖分,进而得到整个目标区域的有限元网格. 基于栅格法又可分为正则栅格法(regular grid method)和有限四(八)叉树法 (finite quadtreeoctree methods)两大类.正则栅格法与有限四(八

15、) 叉树法 在算法的总体流程上基本一致,它们之间的最大区 别在于正则栅格法采用尺寸相同的正则栅格覆盖目 标区域,而有限四(八)叉树法采用基于四(八)叉树 数据结构的可递归细分的变尺寸栅格来覆盖目标区 域.与正则栅格法相比,有限四(八)叉树法能够更好 地协调边界逼近精度与生成单元数量之间的平衡, 因此应用更为广泛. Yerry和Shephard 33 首先将用于近似表达几何 对象的四(八)叉树法空间分解法引入到网格剖分领 域,其后又有许多学者对该方法进行了完善和发展, 形成了有限四(八)叉树方法.有限四(八)叉树方法 适用于复杂二维和三维域网格生成,几何适应性强, 网格密度可控制,且算法效率较高

16、(时间复杂度为 O(NlogN ) , 实际观察接近于O(N ) , 其中N为生成 单元总数 ) . 但该方法也存在如生成网格与所选择的 初始栅格及其取向有关、 目标域边界处单元质量较 差等严重缺点. 有限四(八)叉树方法的主要步骤包括:叉树的 构建,叉树的平衡,交点过滤,内部栅格与边界栅格 的相容网格剖分,网格优化等.其中,内部栅格与边 界栅格的相容网格剖分在实现上具有相当的难度. 例如,对于三维内部栅格的网格剖分问题,如果相邻 八分区(octant)最多相差一个级别的划分水平,那么 内部栅格的拓扑形式就存在4096种可能性,即使考 虑到对称与旋转特性也需要建立78种模板 34 .为 了简化算法,Yerry等 34提出可将内部栅格分解为 6 个锥体,然后再将锥体剖分成所需单元,但是该方法 生成单元太多,且质量较差. Schroeder等 35 将Delau2 nay方法引入到有限四(八)叉树方法中,解决内部栅 格与边界栅格的相容网格剖分问题,一定程度上降 低了程序实现的复杂度并提