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1、控制系统的数学模型,例题精解,例题精解例2.1 弹簧阻尼器串并联系统如图2.2所示，系统为无质量模型，试建立系 统的运动方程。,解： （1）设输入为 ，输出为 ，弹簧与阻尼器并联平行移动。 （2）列写原始方程式。由于无质量，按受力平衡方程，各受力点任何时刻均满足F=0，则对于A点有,其中，F阻尼摩擦力；FK1，FK2为弹性恢复力。,（3）写中间变量关系式,（4）消中间变量得,（5）化标准型,式中，,为时间常数，单位（秒）；,为传递,系数，无量纲。,例2.2 已知单摆系统的运动如图2.2所示。（1）写出运动方程式；（2）求取线性化方程。,解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆 角，摆球质量为m。
2、 （2）由牛顿定律写原始方程,式中， l 为摆长； l 运动弧长；h为空气阻力。（3）写中间变量关系式,式中，为空气阻力系数；,为运动线速度。,（4）消中间变量得运动方程式,此方程为二阶非线性齐次方程。（5）线性化。在=0附近，非线性函数sin ，故代入上式可得线性化方程为,例2.3 已知机械旋转系统如图2.3所示，试列出系统运动方程。,解：（1）设输入量为作用力矩M，输出为旋转角速度。 （2）列写运动方程式,式中，f为阻尼力矩，其大小与转速成正比。 （3）整理成标准形为,此为一阶线性微分方程，若输出变量改为，则由于=,代入方程得,二阶线性微分方程式,例2.4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上
3、，如图2.4所示。倒立摆不是稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2.5所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。 解：（1）设输入作用力为u，输出为摆角。 （2）写原始方程式。设摆杆中心A的坐标为 ，于是,画出系统隔离体受力图如图2.5所示。,式中，J为摆杆围绕重心A 的转动惯量。 摆杆重心A 沿x轴方向运动方程为,摆杆重心A 沿y轴方向运动方程为,即,（2.1）,（2.2）,即,摆杆围绕中心A点转动方程为,小车沿x轴方向运动方程式为,（2.3）,（2.4）,方程（2.1
4、）（2.4）为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sin和c o s 项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。 （3）当很小时，可对方程组线性化，由例2.2可知sin ，同理可得到c o s 1。则方程式（2.1）（2.4）可用线性化方程表示为,用,的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、,H、x得,将微分算子还原后得,此为二阶线性化偏量微分方程。,例2.5 RC无源网络电路图如图2.6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc2（s）/Ur（s）。,解： 在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系满足广义的欧姆定律。即,如果二端元件是电
5、阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z（s）分别是R、1/Cs或Ls。,（1）用复阻抗写电路方程式：,（2）将以上4式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2.7 （a）、（b）。（3）用结构图化简法求传递函数的过程见图2.7（c）、（d）、（e）。（4）用梅逊公式直接由图2.7（b）写出传递函数Uc2（s）/Ur（s）。,独立回路有三个：,回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则,由上可写出特征式为,前向通路只有一条,由于P1与所有回路L1，L2，L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为,代入梅逊公式得传递函数,例2.6 有源网络如图2.8所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根
6、据求得的结果，直接用于图2.9所示PI调节器，写出传递函数。 解：图2.8中Z i和Z f 表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，A点为虚地，即UA 0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是I1=I2则有,故传递函数为,对于由运算放大器构成的调节器，上式可看作计算传递函数的一般公式。对于图2.9所示PI调节器，有,故,例2.7 求下列微分方程的时域解x（t）。已知 （0）=0， （0）=3。,.,解：对方程两端取拉氏变换为,代入初始条件得到,解出X（s）为,反变换得时域解为,例2.8 已知系统结构图如图2.10所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s）。 解：（1）首先将
7、含有G2的前向通路上的分支前移，移到下面的回环之外。如图2.11（a）所示。 （2）将反馈环和并联部分用代数法则化简，得图2.11（b）。 （3）最后将两个方框串联想乘得图2.11（c）。,例2.9 已知系统结构图如图2.12所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s）。,解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图2.13（a）的形式。 （2）将小前馈并联支路相加，得图2.13（b）。 （3）先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图2.13（c）。,例2.10 已知机械系统如图2.14（a）所示，电气系统如图2.14（b）所示，试画出系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。,解：（1）列写
8、图2.14 （a）所示机械系统的运动方程，遵循以下原则：并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同。串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为：,取拉氏变换，并整理成因果关系有：,画结构图如图2.15。,求传递函数为：,(2)列写图2.14（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，所遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和。可见，电压与位移互为相似量，电流与力互为相似量。 运动方程可直接用复阻抗写出：,整理成因果关系：,画结构图如图2.16所示。,求传递函数为,对上述两个系统的传递函
9、数，结构图进行比较后可以看出，两个系统是相似的。机电系统之间相似量的对应关系见下表。,例2.11 RC网络如图2.17所示，其中,为网络输入量，,为网络输出量。,（1）画出网络结构图； （2）求传递函数U2（s）/U1（s）。 解：（1）用复阻抗写出原始方程组。,输入回路输出回路中间回路,（2）整理成因果关系式。,由输入回路得由中间回路得由输出回路得,即可画出结构图如图2.18所示。,（3）用梅逊公式求出,例2.12 已知系统的信号流图如图2.19所示，试求传递函数C（s）/R（s）。,1,解：单独回路4个，即，,两个互不接触的回路有4组，即，,3个互不接触的回路有1组，即,于是，得特征式为,从源点R到阱节点C的前向通路共有4条，其各前向通路总增益用PK 表示，则PK 以及余因子式分别为,因此，传递函数为,
