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1、102598 计算方法课程考试说明一、本课程使用教材、大纲计算方法课程使用的教材为数值分析简明教程（附大纲），王能超编著，高等教育出版社，2003年第二版；参考书：计算方法引论，高等教育出版社，2007年第三版，徐翠微等编。二、本课程的试卷题型结构及试题难易度1. 试卷题型结构表课 程代 号 02598 课 程名 称 计算方法题 型 单选题 填空题 改错题 简答题 计算题 证明题 合 计每 题分 值 1 2 2 5 10 10题 数 20 10 5 4 2 1 42合 计分 值 20 20 10 20 20 10 1002. 试卷按识记、领会、简单应用、综合应用四个认知层次命制试题，四个认知层
2、次在试卷中的所占的比例大致分别为：识记占20%、领会占30% 、简单应用占30%、综合应用占20%。3. 试卷难易度大致可分为“容易、中等偏易、中等偏难、难”。根据课程的特点，每份试卷中，不同难易度试题所占的分数比例大致依次为易占30分、中等偏易占30分、中等偏难占20分、难占20分。三、各章内容分数的大致分布章 次 内 容 分 值引 论 算法和误差 10分左右第一章 插值方法 15分左右第二章 数值积分 20分左右第三章 常微分方程数值解 20分左右2第四章 方程求根迭代方法 20分左右第五章、第六章 线性方程组求解 15分左右合计 100分四、各章内容的重、难点章 次 重 点 难 点引 论
3、 算法和误差 误差、相对误差、有效数字；秦九韶算法，二分法；数值计算中误差分析 有效数字和相对误差的关系；秦九韶算法，二分法；误差对数值计算的影响第一章 插值方法 泰勒公式；拉格朗日插值方法；插值余项；分段插值方法 插值余项分析；埃尔米特插值；曲线拟和；分段三次插值第二章 数值积分 牛顿-柯特斯公式及其代数精度，余项与误差；复化求积公式；龙贝格公式；高斯求积公式及其精度，两点高斯公式 复化求积公式及其误差；龙贝格公式；高斯求积公式及其精度，两点高斯公式第三章 常微分方程的差分方法 欧拉方法；改进欧拉方法；龙格-库塔方法（二阶、四阶）；差分格式的精度和局部截断误差 龙格-库塔方法（二阶、四阶）；
4、线性多步法，收敛性和稳定性第四章 方程求根迭的代方法 二分法，简单迭代法，收敛性判断；牛顿法，开方公式，牛顿下山法，收敛速度 牛顿法，收敛速度；简单迭代法的收敛性判断第五章 线性方程组的迭代法 雅可比迭代公式；高斯-赛德尔迭代公式；向量和矩阵的范数，迭代格式的收敛性判断；超松弛法 超松弛迭代格式第六章 线性方程组的直接法 高斯消去法；列主元消去法 平方根法，误差分析五、各题型试题范例及解题要求1、单项选择题（每小题1分，共20分）要求：在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母标号填入题干的括号内。范例：解非线性方程 0)( xf 的牛顿切线法在单根 *x 附近的收敛速度为（
5、）A四阶 B二阶 C三阶 D一阶解答：（ B ）32、 填空题 (每小题2分，共20分)要求：直接将答案填在横线上，不需要写出过程。范例：向量范数满足的三个性质为非负性, ,三角不等式性。解答：齐次性3、 改错题（每小题2分，共10分）要求：把改正后的正确叙述写出来。范例：3.141是 3.14159265. 的四位有效数字。解答：“四位”改为“三位”4、简答题（每小题5分，共20分）要求：简要答出要点。范例：何谓龙贝格算法，其优点主要是什么?解答：将收敛相对缓慢的梯形序列nT 通过加工得到迅速收敛的龙贝格序列即为龙贝格算法。主要优点是精度高，算法简单，计算量小。5、 计算题（每小题10分，共
6、20分）要求：写出主要过程范例：已给数据表：x 1.0 1.2 1.4)(xf 2.0042 3.3693 4.5817（1）用复化梯形法计算积分的近似值。（2）用辛甫生法计算积分的近似值。解答：（1） )()(2)(2)( 11 bfxfafhdxxfT nk kban (2分)5817.43693.320042.2(22.0 (2分)33245.1 (1分)（2） )()2(4)(6 bfbafafabS (2分)5817.43693.340042.2(64.0 (2分)33754.16、证明题（每小题10分，共10分）要求：写出详细证明过程。范例：证明：用迭代法求方程 0123 xx 中
7、，迭代格式421 11 kk xx 对任给初值 6.1,3.10 x 均收敛。解答：其迭代函数为 211)( xx ， (3分)当 6.1,3.1x 时，有 1)3.1(2|)(| 3 x ， (4分)此外成立 6.13.111)(6.1113.1 22 x (2分)因此，迭代公式对任给初值 6.1,3.10 x 均收敛。(1分)6、 考试注意事项本课程考试方式为闭卷、笔试，考试时间为150分钟。考生参加考试时只允许携带钢笔、签字笔、圆珠笔、铅笔、橡皮等文具用品，必须自己准备有计算数学函数（三角函数、对数函数、指数函数）功能的普通计算器，不允许带有记忆功能的智能计算设备，有关参考书等。计算方法
8、试题及解答（一）一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.若误差限为0.5105，那么近似数0.003400有( )位有效数字.(A)2 (B)3 (C)4 (D)62.当线性方程组AXb的系数矩阵A是( )时，用列主元消去法解AXb，A的主对角线的元素一定是主元.(A)上三角形矩阵 (B)主对角线元素不为0的矩阵(C)对称且严格对角占优矩阵 (D)正定对称矩阵3.下列条件中，不是分段线性插值函数P(x)必须满足的条件为( )(A) P(xk)=yk,(k=0,1,n) (B) P(x)在a,b上连续(C) P(x)在各子区间上是线性函数 (D) P(x)在各节点处可导4.有3个不同节点的高斯
9、求积公式的代数精度是( )次的.(A)5 (B)6 (C)7 (D)35.解微分方程初值问题的方法，( )的局部截断误差为O(h3).(A)欧拉法 (B)改进欧拉法 (C)三阶龙格库塔法 (D)四阶龙格库塔法二、填空题(每小题3分，共15分)6.已知x*1=x10.5103，x*2=x20.5102，那么近似值x1，x2之差的误差限是7.用列主元消去法解线性方程组AXb时，在第k1步消元时，在增广矩阵的第k列取主元 )1( krka ，使得 )1(krka .8. 已知函数f(0.4)=0.411, f(0.5)=0.578 , f(0.6)=0.697，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多
10、项式x2的系数是 .9.牛顿科茨求积公式中的科茨系数 ),.,1,0()( nkC nk 满足的两条性质是.10.用牛顿法求方程f(x)=0在a,b内的根，已知f(x)在a,b内不为0，f(x)在a,b内不变号，那么选择初始值x0满足 ，则它的迭代解数列一定收敛到方程f(x)=05的根.三、计算题(每小题15分，共60分)11.已知一组试验数据 kx 2 2.5 3 4 5 5.5ky 4 4.5 6 8 8.5 9试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)12.将区间1,98等分，试用复化梯形公式求积分xx d5691 的近似值，计算过程中保留3位小数.13. 用弦截法求方程 xsin
11、x0.5=0在1.4，1.6之间的一个近似根，满足01.01 kk xx ，计算过程保留4位小数.14.用四阶龙格库塔法求解初值问题 0)0( 1y yy取h=0.2,求x=0.2,0.4时的数值解. 要求写出由h,xk,yk直接计算yk+1的迭代公式.计算过程保留3位小数. 已知四阶龙格库塔法斜率值公式为1=f(xk,yk) 2=f(xk+12h，yk+2h 1) 3=f(xk+12h，yk+2h 2) 4=f(xk+h，yk+h3)四、证明题(本题10分)15.证明解线性方程组AX=b的雅可比迭代收敛，其中A= 110 121 014答案一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.B 2.C
12、 3.D 4. A 5.B二、填空题(每小题3分，共15分)6.0.55102 7. )1(max kiknik a 8.2.4 9. )()(0 )( ;1 nknnknk nk CCC (或归一性和对称性) 10. 0)()( 00 xfxf (或f(x0)与f(x0)同号)三、计算题(每小题15分，共60分)11.设直线ya0+a1x，那么a0,a1满足的法方程组公式为 kkkk kk yxxaxa yxana 210 10 (3分)代入数据，经计算得到法方程组为 25.1615.9022 40226 10 10 aa aa (9分)解得a0=1.229 a1=1.483 (14分)所求
13、直线方程为 y=1.229+1.483x (15分)612.计算列表 k kx 56)( xxf k0 1 1.0001 2 2.6462 3 3.6063 4 4.3594 5 5.0005 6 5.5686 7 6.0837 8 6.5578 9 7.000h=1,用梯形公式 )12()(2)()(2d56 718091 分 k kxfxfxfhxx )557.6083.6568.5000.5359.4606.3646.2(27121 =37.819 (15分)13.设f(x)=xsinx0.5，取 6.1,4.1 10 xx ，f(1.4)=0.08550，故f(x)=0在1.4, 1.
14、6内有根. (3分)弦截法的公式为： )()()( )( 111 nnnn nnn xxxfxf xfxx (n=1,2,)于是，代入函数f(x)，本题有迭代公式 )(sinsin 5.0sin 1111 nnnnnn nnnn xxxxxx xxxx (7分)9491.1)4.16.1(4.1sin6.1sin4.16.1 5.06.1sin6.16.12 x 1.012 xx 081，不满足精度要求. (11分)当n=2时， 4970.1)6.14919.1(6.1sin4919.1sin6.14919.1 5.04919.1sin4919.14919.13 x 0051.023 xx ，
15、满足精度要求. 所求方程的解为x*1.4970 (15分)14.1=f(xk,yk)=1yk2=f(xk+12h，yk+2h 1)1 122.0 ky 0.9(1yk)3=f(xk+12h，yk+2h 2)= 222.01 ky 0.91(1yk)4=f(xk+h，yk+h3)= 32.01 ky =0.818(1yk) (5分)代入公式 )22(6 43211 hyy kk )1(818.0)1(91.02)1(9.021(62.0 kkkkk yyyyy kkk yyy 819.0181.0)1(181.0 (10分)(8分)7于是有 y(0.1)y1 181.00819.0181.0 y(0.2)y 181.0819.0181.0 0.329 (15分)四、证明题(本题 10分)15.由该线性方程组的系数矩阵A得其雅可比迭代矩阵为B0 010 5.005.
