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1、 高中数学第二章圆锥曲线与方程练习 第二圆锥曲线与方程测评 (时间:120分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.下列曲线中离心率为的是() A.=1B.=1 .=1D.=1 解析:双曲线=1的离心率e=. 答案:B 2.平面上有两个定点A,B及动点P,命题甲:“|PA|-|PB|是定值”,命题乙:“点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线”,则甲是乙的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 .充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当|PA|-|PB|=|AB|时,点P的轨迹是一条射线,故甲乙,而乙?甲,故选B. 答案:B 3.已知椭圆与双曲线=1有
2、共同的焦点,且离心率为,则椭圆的标准方程为() A.=1B.=1 .=1D.=1 解析:双曲线=1中,=3,=2,则1=,故焦点坐标为(-,0),(,0),故所求椭圆=1(a>b>0)的=,又椭圆的离心率e=,则a=5,a2=25,b2=a2-2=20,故椭圆的标准方程为=1. 答案:B 4.已知双曲线:=1的焦距为10,点P(2,1)在双曲线的渐近线上,则双曲线的方程为() A.=1B.=1 .=1D.=1 解析:根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解. =1的焦距为10, =5=. 又双曲线渐近线方程为y=x,且P(2,1)在渐近线上,=1,即a=2b. 由解得a=2,b=,故
3、选A. 答案:A 5.(2017全国高考)已知F是双曲线:x2-=1的右焦点,P是上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为() A.B.D. 解析:由2=a2+b2=4,得=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=3,所以|PF|=3. 又点A的坐标是(1,3),故APF的面积为3(2-1)=,故选D. 答案:D 6.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为() A.=1B.=1 .=1D.=1 解析:抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,故双曲线中=6.
4、由双曲线=1的一条渐近线方程为y=x,知, 且2=a2+b2. 由解得a2=9,b2=27. 故双曲线的方程为=1,故选B. 答案:B 7.P是长轴在x轴上的椭圆=1上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为,则|PF1|?|PF2|的最大值与最小值之差一定是() A.1B.a2.b2D.2 解析:由椭圆的几何性质得|PF1|a-,a+,|PF1|+|PF2|=2a, 所以|PF1|?|PF2|=a2, 当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号. |PF1|?|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|) =-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2 -2+a2=b2,
5、 所以|PF1|?|PF2|的最大值与最小值之差为a2-b2=2. 答案:D 8.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k等于() A.2或-1B.-1.2D.1 解析:由消去y,得k2x2-4(k+2)x+4=0, 故=-4(k+2)2-4k24=64(1+k)>0, 解得k>-1,由x1+x2=4, 解得k=-1或k=2,又k>-1,故k=2. 答案: 9.设双曲线=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为() A.B.5.D. 解析:双曲线=1的一条渐近线方程为y=x,由方程组消去y,得x2-
6、x+1=0有唯一解,所以=-4=0,所以=2,所以e=,故选D. 答案:D 10.在抛物线y2=8x中,以(1,-1)为中点的弦的方程是() A.x-4y-3=0B.x+4y+3=0 .4x+y-3=0D.4x+y+3=0 解析:设弦的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1x2),则=8x1,=8x2, 两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2), 又y1+y2=-2,=-4, 弦所在直线的斜率为-4, 又过点(1,-1),所求直线方程为4x+y-3=0. 答案: 11.如图,南北方向的公路L,A地在公路正东2k处,B地在A北偏东60方向2k处,河流沿岸曲线PQ上任
7、意一点到公路L和到A地距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头,向A,B两地运货物,经测算,从到A,B修建公路的费用都为a万元/k,那么,修建这两条公路的总费用最低是() A.(2+)a万元B.(2+1)a万元 .5a万元D.6a万元 解析:本题主要考查抛物线的实际应用.依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线,根据抛物线的定义知,欲求从到A,B修建公路的费用最低,只需求出B到直线L的距离即可.B地在A地北偏东60方向2k处,B到点A的水平距离为3k,B到直线L的距离为3+2=5(k),那么,修建这两条公路的总费用最低为5a万元,故选. 答案: 12.(2017全国高考)设A,B是椭圆:
8、=1长轴的两个端点.若上存在点满足AB=120,则的取值范围是() A.(0,19,+)B.(0,9,+) .(0,14,+)D.(0,4,+) 解析:由题意,可知当点为短轴的端点时,AB最大.当0<<3时,椭圆的焦点在x轴上,要使椭圆上存在点满足AB=120,则tan60=,即,解得0<1;当>3时,椭圆的焦点在y轴上,要使椭圆上存在点满足AB=120,则tan60=,即,解得9,综上的取值范围为(0,19,+),故选A. 答案:A 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.(2017北京高考)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数= . 解析:由题意知
9、a=1,b=,>0,=,则离心率e=,解得=2. 答案:2 14.设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,线段F1F2被点分成31的两段,则此椭圆的离心率为 . 解析:由题意,得=3?+=3-b?b=, 因此e=. 答案: 15.已知抛物线:y2=2px(p>0),过焦点F且斜率为k(k>0)的直线与相交于A,B两点,若=3,则k= . 解析:设直线l为抛物线的准线,过A,B分别作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BE垂直于AA1于E,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由=3, sBAE=, BAE=60,tanBAE=,即
10、k=. 答案: 16.以下四个关于圆锥曲线的命题: 设A,B为两个定点,k为非零常数,|-|=k,则动点P的轨迹为双曲线; 过定圆上一定点A作圆的动弦AB,为坐标原点,若),则动点P的轨迹为椭圆; 方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; 双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点. 其中正确命题的序号是 . 解析:双曲线的定义是:平面上与两个定点A,B的距离的差的绝对值为常数2a,且0<2a<|AB|,那么点P的轨迹为双曲线,故错; 由)得点P为弦AB的中点,其轨迹为圆,故错; 设2x2-5x+2=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x
11、2=1,由此可知两根互为倒数,且均为正,故正确; =1的焦点坐标为(,0),+y2=1的焦点坐标为(,0),故正确. 答案: 三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与字说明,共70分) 17.(本小题满分10分)求与椭圆=1有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程. 解椭圆=1的焦点是(0,-5),(0,5),焦点在y轴上,于是设双曲线方程是=1(a>0,b>0), 又双曲线过点(0,2),=5,a=2, b2=2-a2=25-4=21, 双曲线的标准方程是=1,实轴长为4,焦距为10,离心率e=,渐近线方程是y=x. 1
12、8.(本小题满分12分)若已知椭圆=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点P,求椭圆及双曲线的方程. 解由椭圆与双曲线有相同的焦点,得10-=1+b,即=9-b, 由点P在椭圆、双曲线上,得y2=, y2=, 解由组成的方程组得=1,b=8, 椭圆方程为+y2=1,双曲线方程为x2-=1. 19.导学号01844027(本小题满分12分)(2017全国高考)设为坐标原点,动点在椭圆:+y2=1上,过作x轴的垂线,垂足为N,点P满足. (1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于Q的直线l过的左焦点F. (1)解设P(x,y),(x0,y0
13、), 则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由得x0=x,y0=y. 因为(x0,y0)在上,所以=1. 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2. (2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(,n), 则=(-3,t),=(-1-,-n),=3+3-tn,=(,n),=(-3-,t-n). 由=1得-3-2+tn-n2=1. 又由(1)知2+n2=2,故3+3-tn=0. 所以=0,即. 又过点P存在唯一直线垂直于Q, 所以过点P且垂直于Q的直线l过的左焦点F. 20.导学号01844028(本小题满分12分)(2017北京高考)已知椭圆的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆于不同的两点,N,过D作A的垂线交BN于点E.求证:BDE与BDN的面
