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1、考点47 几何证明选讲选择题1.(2015天津高考理科T5)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为()A.83B.3 C.103D.52【解析】选A.根据相交弦定理可知,CMMD=AMMB,又因为M,N为弦AB的三等分点,所以,AMMB=ANNB.因为CM=2,MD=4,即CNNE=ANNB=CMMD=8,由CN=3,得NE=83.2.(2015天津高考文科T6)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为()A.83B.3C.103D.
2、52【解析】选A.根据相交弦定理可知,CMMD=AMMB,又因为M,N为弦AB的三等分点,所以,AMMB=ANNB.因为CM=2,MD=4,即CNNE=ANNB=CMMD=8,由CN=3,得NE=83.二、填空题3. (2015湖北高考理科T15)(选修4-1:几何证明选讲)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则. 【解题指南】利用圆的切割线定理和三角形相似求解.【解析】设PB=1,因为BC=3PB,所以PC=4,又因为PA是圆的切线,所以PAB=BCA,P=P,所以PBAPAC,所以PA2=PBPC=4,PA=2, 答案: 6. （2015重庆高考理科14）如题
3、（14）图，圆O的弦AB，CD相较于点E，过点A作圆O的切线与DC4。的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2:1，则BE= _.【解题指南】首先根据切割线定理可求出的长，然后利用相交弦定理结合线段的比例可求出BE的长.【解析】由切割线定理可知，所以，因为CE：ED=2:1，所以CE=6，ED=3由相交弦定理可知，所以5. (2015广东高考理科T15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1,过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD=.【解题指南】可作辅助线OC,然后利用直角三角形射影定理求得
4、.【解析】如下图所示，连接，因为，又，所以，又为线段的中点，所以，在中，由直角三角形的射影定理可得即答案:86. (2015广东高考文科T15)(几何证明选讲选做题)如图,AB为圆O的直径,E为AB的延长线上一点,过E作圆O的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若AB=4,CE=23,则AD=.【解题指南】作辅助线OC,先利用切割线定理求出BE,再利用平行线分线段成比例求出AD.【解析】连结，则，因为，所以，所以，由切割线定理得：，所以，即，解得：或（舍去），所以，答案:3三、解答题7.(2015新课标全国卷理科T20)(10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB是O的直径,AC是
5、O的切线,BC交O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是O的切线.(2)若OA=3CE,求ACB的大小.【解析】(1)连结AE,由已知得,AEBC,ACAB.在RtABC中,由已知得,DE=DC,故DEC=DCE.连结OE,则OBE=OEB.又ACE+ABC=90,所以DEC+OEB=90,所以OED=90,DE是O的切线.(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=23,BE=12-x2,由射影定理可得,AE2=CEBE,所以x2=12-x2,即x4+x2-12=0.可得x=3,所以ACB=60.8.(2015新课标全国卷文科T22)(10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB是O的直径
6、,AC是O的切线,BC交O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是O的切线.(2)若OA=3CE,求ACB的大小.【解析】(1)连结AE,由已知得,AEBC,ACAB.在RtABC中,由已知得,DE=DC,故DEC=DCE.连结OE,则OBE=OEB.又ACE+ABC=90,所以DEC+OEB=90,所以OED=90,DE是O的切线.(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=23,BE=12-x2,由射影定理可得,AE2=CEBE,所以x2=12-x2,即x4+x2-12=0.可得x=3,所以ACB=60.9. (2015新课标全国卷理科T22)如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与ABC
7、的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EFBC.(2)若AG等于圆O的半径,且AE=MN=23,求四边形EBCF的面积.【解题指南】(1)要证明EFBC,可证明ADBC,ADEF.(2)先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF的面积转化为ABC和AEF的面积之差求解.【解析】(1)由于ABC是等腰三角形,ADBC,所以AD是CAB的平分线,又因为O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故ADEF,从而EFBC.(2)由(1)知,AE=AF,ADEF,故AD是EF的垂直平分线,又EF为O的弦,所以O在AD上.连结OE,OM,则
8、OEAE.由AG等于O的半径得AO=2OE,所以OAE=30.因此ABC和AEF都是等边三角形.因为AE=23,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=3,所以OD=1.于是AD=5,AB=1033.所以四边形EBCF的面积为10. (2015新课标全国卷文科T22)如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EFBC.(2)若AG等于圆O的半径,且AE=MN=23,求四边形EBCF的面积.【解题指南】(1)要证明EFBC,可证明ADBC,ADEF.(2)先求出有关线段的长度,然
9、后把四边形EBCF的面积转化为ABC和AEF的面积之差求解.【解析】(1)由于ABC是等腰三角形,ADBC,所以AD是CAB的平分线,又因为O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故ADEF,从而EFBC.(2)由(1)知,AE=AF,ADEF,故AD是EF的垂直平分线,又EF为O的弦,所以O在AD上.连结OE,OM,则OEAE.由AG等于O的半径得AO=2OE,所以OAE=30.因此ABC和AEF都是等边三角形.因为AE=23,所以AO=4,OE=2.因为，所以.于是，.所以四边形EBCF的面积为11. (2015江苏高考T21本小题满分10分)如图,在ABC中,AB=AC,ABC
10、的外接圆圆O的弦AE交BC于点D.求证:ABDAEB.【解题指南】利用等弦对等角,同弧对等角,得到ABD=E,又公共角BAE,所以两三角形相似.【证明】因为AB=AC,所以ABD=C.又因为C=E,所以ABD=E,又BAE为公共角,所以ABDAEB.12.（2015陕西高考）如图,切O于点,直线AO交O于D,两点,CD,垂足为C.(1)证明:CD=D.(2)若D=3DC,C=2,求O的直径.【解题指南】(1)利用同角的余角相等及弦切角定理即可得证.(2)根据三角形的角平分线定理及勾股定理即可求解.【解析】(1)因为DE是O的直径,则BED+EDB=90,又BCDE,所以CBD+EDB=90,即BED=CBD,又AB切O于点B,得DBA=BED,所以CBD=DBA.(2)由(1)知BD平分CBA, 则，又，从而，所以，所以，由切割线定理得，即故DE=AE-AD=3,即O的直径为3.在校园的时候曾经梦想去桂林，到那山水甲天下的阳朔仙境，漓江的水呀常在我心里流，去那美丽的地方是我一生的期望，有位老爷爷他退休有钱有时间，他给我描绘了那幅美妙画卷，刘三姐的歌声和动人的传说，亲临其境是老爷爷一生的心愿，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有时间的时候我却没有钱，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有了钱的时候我却没时间7
