《2017－2018学年高中数学 考点50 不等式选讲（含2015年高考试题）新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017－2018学年高中数学 考点50 不等式选讲（含2015年高考试题）新人教a版（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点50 不等式选讲一、选择题1.(2015山东高考理科T5)不等式|x-1|-|x-5|2的解集是()A.(-,4) B.(-,1)C.(1,4) D.(1,5)【解题指南】可以分段讨论去掉绝对值符号,也可以利用绝对值的几何意义,还可以结合选择题的特点利用特殊值排除错误答案.【解析】选A.方法一:当x1时,原不等式化为1-x-(5-x)2即-42,不等式恒成立;当1x5时,原不等式即x-1-(5-x)2,解得x4;当x5时,原不等式化为x-1-(x-5)2即42,显然不成立,综上可得不等式的解集为(-,4).方法二:由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1,5两点(距离为4)的距离之差小于2的
2、点满足x0,-22sinx2,当时，函数内的单调递增，无极值；当时，函数内的单调递减，无极值；当时，在内存在唯一的，使得，时，函数单调递减；时，函数单调递增；因此，-2acd,则a+bc+d.(2)a+bc+d是|a-b|cd,可证明(a+b)2(c+d)2,开方即得a+bc+d.(2)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.【证明】(1)因为(a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd.由题设a+b=c+d,abcd得(a+b)2(c+d)2.因此a+bc+d.(2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)
3、得a+bc+d.(ii)若a+bc+d,则(a+b)2(c+d)2,即a+b+2abc+d+2cd.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|c+d是|a-b|0.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集.(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.当x-1时,不等式化为x-40,无解;当-1x0,解得23x0,解得1x1的解集为（2）由题设可得，.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13,
4、0,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)26,故a2.所以a的取值范围为(2,+).7.(2015新课标全国卷文科T24)(10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集.(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.当x-1时,不等式化为x-40,无解;当-1x0,解得23x0,解得1x1的解集为x|23x2.(2)由题设可得,f(x)=x-1-2a,xa.所以函数f(x
5、)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)26,故a2.所以a的取值范围为(2,+).8. (2015江苏高考T21)解不等式x+|2x+3|2.【解题指南】根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集,分别求解即可.【解析】原不等式可化为或解得x-5或x-.综上,原不等式的解集是x|x-5或x-.9.(2015新课标全国卷理科T24)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若abcd,则；（2）是的充要条件.【解题指南】（1）由及,可证明,开方即得.(2)本小题可借助
6、第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.【证明】(1)因为 由题设得因此（2）（i）若，则，即 .因为，所以.由（1）得（ii）若，则，即.因为，所以.于是.因此. 综上是的充要条件.10.（2015陕西高考）已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4.(1)求实数a,b的值.(2)求at+12+bt的最大值.【解题指南】(1)将原不等式去掉绝对值,对比已知的解集可求得a,b的值.(2)运用柯西不等式求最值.【解析】(1)由|x+a|b,得-b-ax0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.求a+b+c的值.求14a2+19b2+c2的最小值.【解题指
7、南】利用绝对值三角不等式和柯西不等式求解.【解析】因为f(x)=x+a+x-b+c(x+a)-(x-b)+c=a+b+c,当且仅当-axb时,等号成立.又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c,又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.由知a+b+c=4,由柯西不等式得，即，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为.在校园的时候曾经梦想去桂林，到那山水甲天下的阳朔仙境，漓江的水呀常在我心里流，去那美丽的地方是我一生的期望，有位老爷爷他退休有钱有时间，他给我描绘了那幅美妙画卷，刘三姐的歌声和动人的传说，亲临其境是老爷爷一生的心愿，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有时间的时候我却没有钱，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有了钱的时候我却没时间7
