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1、考点32 椭圆一、选择题1.(2016全国卷高考文科T5)直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选B.设椭圆的标准方程为+=1(ab0),右焦点F(c,0),则直线的方程为+=1,即bx+cy-bc=0,由题意可知=b,又a2=b2+c2,得b2c2=b2a2,所以e=.2.(2016全国卷文科T12)与(2016全国卷3理科T11)相同已知O为坐标原点,F是椭圆C: =1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,
2、则C的离心率为()A.B.C.D.【解题指南】点M是直线AE和直线BM的交点,点M的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c的联系.【解析】选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设为k,直线AE的方程为y=k,令x=0可得点E坐标为,所以OE的中点H坐标为,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM的斜率为-,可设其方程为y=-x+a,联立可得点M横坐标为-,又点M的横坐标和左焦点相同,所以-=-c,所以e=.3.(2016浙江高考理科T7)已知椭圆C1: +y2=1(m1)与双曲线C2: -y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.mn且e1e21B.mn且e1e21
3、C.m1D.mn且e1e21,n0,所以mn,(e1e2)21,所以e1e21.二、填空题4.(2016江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆 (ab0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.【解题指南】利用kBFkCF=-1计算得出离心率的值.【解析】将直线y=与椭圆的方程联立得B,C,F(c,0),则kBF=,kCF=,因为BFC=90,所以kBFkCF=-1,整理得b2=3a2-4c2,所以a2-c2=3a2-4c2,即3c2=2a2e=.答案:5.(2016浙江高考理科T19)如图,设椭圆+y2=1(a1).(1)求直线y=kx+
4、1被椭圆截得的线段长(用a,k表示).(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.【解题指南】(1)先联立y=kx+1和+y2=1,可得x1,x2,再利用弦长公式可得直线y=kx+1被椭圆截得的线段长.(2)先假设圆与椭圆的公共点有4个,再利用对称性及已知条件可得任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时,a的取值范围,进而可得椭圆的离心率的取值范围.【解析】(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AM,由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-.因此|AM|=.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的
5、椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2.由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)1+a2(2-a2)=0.由于k1k2,k1,k20,得1+a2(2-a2) =0,因此=1+a2(a2-2).因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)1,所以a.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件是1a,由e=得,所求离心率的取值范围是0b0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的
6、坐标.(2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数,使得|PT|2=|PA|PB|,并求的值.【解题指南】(1)利用直线和椭圆只有一个公共点,联立方程,方程由两个相等的实根,解出b2的值,从而得出椭圆的标准方程.(2)利用椭圆的几何性质,数形结合及根与系数的关系,进行求解.【解析】(1)由已知,a=b,则椭圆E的方程为=1,由方程组得3x2-12x+(18-2b2)=0,方程根的判别式为=24(b2-3),由=0,得b2=3,此方程的解为x=2,所以椭圆E的方程为=1.点T坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l的方程为y=x+m,由可得3x2+4mx+=0,所以=160,解得-m且m0,设点A,B的坐标分别为, ,由得x1+x2=-,x1x2=.所以=,同理,所以=m2.由得P点坐标为,所以|PT|2=.故存在常数=,使得.在校园的时候曾经梦想去桂林，到那山水甲天下的阳朔仙境，漓江的水呀常在我心里流，去那美丽的地方是我一生的期望，有位老爷爷他退休有钱有时间，他给我描绘了那幅美妙画卷，刘三姐的歌声和动人的传说，亲临其境是老爷爷一生的心愿，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有时间的时候我却没有钱，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有了钱的时候我却没时间3
