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1、,基本积分法 : 直接积分法 ;,换元积分法 ;,分部积分法,初等函数,初等函数,例如 , 下列函数积分都不是初等函数,一. 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分式,分解,若干部分分式之和,其中部分分式的形式为,为自然数,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,(2) 用赋值法,原式,原式,故 原式,(3) 解方程组法,原式,方程两边同乘,比较同次幂系数得,原式 =,三种典型部分分式的积分:,3.,例2. 求,解: 已知,原式 =,例3. 求,解: 原式 =,例4. 求,原式,例5. 求,解: 原式,技巧,若按一般方法作:
2、,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,解法较繁,二. 三角函数有理式的积分,设,表示三角函数有理式 , 则,令,万能代换,t 的有理函数的积分,令,则,t 的有理函数 的积分,例6. 求,解: 令,则,原式,例7 求积分,解（一）,解（二）,可以不用万能代换公式.,结论,比较以上解法, 便知万能代换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能代换.,例8. 求,解:,原式,说明: 通常求含,及,有理式的积分时,往往更方便 .,的,用代换,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例9 求积分,解 令,三、简单无理函数的积分,例10 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.,例11 求积分,解,先对分母进行有理化,原式,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定简便 ,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,思考与练习,如何求下列积分简便 ?,解1.,原式,2原式,练习题,练习题答案,作业,P218 16, 21,
