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1、第七章 不定积分,7.1 不定积分 7.2 分部积分法与换元积分法 7.3 有理函数的不定积分 7.4 简单无理函数与三角函数的不定积分,7.1 不定积分,原函数,定义：,7.1 不定积分,+c,7.1 不定积分,定理1：,注：定理指出，欲求函数的所有原函数，只须求出其中一个 原函数，然后再加上一个任意常数即可。,7.1 不定积分,不定积分,定义：,7.1 不定积分,注：不定积分与原函数的关系：不定积分是由所以原函数 组成的集合，而原函数是不定积分中的一个元素。,积分运算:,7.1 不定积分,这些积分公式是我们后面计算不定积分的基础，一定要把它记住。,基本积分公式表:,7.1 不定积分,利用不
2、定积分基本公式计算不定积分,例1,求,例2,例3,例4,例5 ,; ,例6,7.2 分部积分与换元积分,分部积分法,分部积分公式是从函数乘积的导数公式反转过来的。,7.2 分部积分与换元积分,7.2 分部积分与换元积分,例1：,例2、,例3、,7.2 分部积分与换元积分,例4、,例5、,7.2 分部积分与换元积分,例6、,例7、,7.2 分部积分与换元积分,换元积分法,定理1（第一换元积分法）、,7.2 分部积分与换元积分,7.2 分部积分与换元积分,常用凑微分形式：,7.2 分部积分与换元积分,例：求下列积分 1、,2、,3、,4、,5、,6、,7.2 分部积分与换元积分,7、,8、,9、,
3、10、,11、,7.2 分部积分与换元积分,12、,13、,14、,7.2 分部积分与换元积分,15、,16、,17、,7.2 分部积分与换元积分,18、,19、,20：,7.2 分部积分与换元积分,21：,22、,7.2 分部积分与换元积分,定理2（第二替换元积分法）,证明：只需证明：,7.2 分部积分与换元积分,在什么情况下应用变量替换法和分部积分法?,7.2 分部积分与换元积分,7.2 分部积分与换元积分,7.2 分部积分与换元积分,例2、,二种解法,（2）被积函数中含一般根式,例3、,解：令,原式,7.2 分部积分与换元积分,例4、,令,原式,例5、,解：令,原式,7.3有理函数的不定
4、积分,代数的预备知识,7.3有理函数的不定积分,例如，有理假分式,7.3有理函数的不定积分,有理真分式有下面的分项分式定理,设式是有理真分式（nm），不妨设,，将分母,分解为多因式之积， 即,其中,有理真分式能唯一地写成下列诸分式之和（最简分式之和）,7.3有理函数的不定积分,是常数，求这些待定常数的 方法如下，将式右端通分，令式的符号两端的分子 相等，即同次幂的系数相等，得一次联立方程组，再求 解。,其中:,7.3有理函数的不定积分,例： 求： 1),2),3),4),5),7.3有理函数的不定积分,解：,令,令,7.3有理函数的不定积分,有理函数的不定积分,1、两种基本类型,7.3有理函数
5、的不定积分,求,要设法消去分母中的一次项，为此把分母配方,令,，则,于是：,7.3有理函数的不定积分,上题的积分过程是这样的 将分母的二次三项式用配方法分出一个完全平方式,换元，令,代入原积分 套用常用积分公式,一般地，凡第二种基本类型的积分都可用上述方法求。,7.3有理函数的不定积分,设,，有,7.3有理函数的不定积分,7.3有理函数的不定积分,应用分部积分法,7.3有理函数的不定积分,由此等式解得关于的递推公式,逐次应用这个递推公式，最后归结为：,例如： k=1,k=2,以上讨论得到一个重要结果，任何有理函数的不定积分 总是能计算出来的。,7.3有理函数的不定积分,例：,有理函数的不定积分
6、总是可求的， 并且原函数是初等函数。,7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,简单无理函数的不定积分,对无理函数积分如果能够通过适当的代换化为有理函数的积分， 那么无理函数的积分问题就解决。无理函数的情况是比较复杂， 因此我们只限于讨论简单无理函数的积分。,1、形如,的不定积分，其中,，且,是表示由,通过有限次四则远算得到的函数,7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,从形式上看不是，但可以化为这种类型， 为了消去被积函数中的根号，作代换,，解出x，得,7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,处理方法：将二次三项式,配成完全平方，再作变数替换，将分子分成两项，即可化为：,和,7.4简单无理函数
7、和三角函数的不定积分,7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,（1）、第一种欧拉代换,7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,例：1）,2)、,3),4),7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,（2）第二种欧拉代换,7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,三角函数有理式的不定积分,1、万能代换 设,从而有,7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,2、若,是,的奇函数，即,或,则设,对形如,，作代换,(1),7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,例.,7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,4、若被积函数是,则应
8、用三角公式（积化和差）,例1：,7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,例2、,7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,解：,由,得C=1 ,7.4简单无理函数和三角函数的不定积分,例4：,本章小节,通过本章学习，一定会感到积分法远比微分法来得困难，虽然我们介绍了许多求不定积分的方法，但究竟如何着才能成功？或者更进一步，选择怎样的方法才算最简洁？这可没有固定的规律可以遵循，只有通过大量练习与不断总结才能获得经验，不过我们可以提供一个仅仅只能作为参考的选择积分的一般步骤： 1.是否可以直接套用基本积分公式 2.是否可以应用凑微分法化为基本的积分公式 3.是否可以通过简单的第二种换元法化为基本的积分公式 4.能否利用分部积分法化为较简易的积分 3与4的次序不是绝对的，有时要先考虑4，后考虑3，特别是被积函数含指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数分别与x的幂函数的乘积时，应优先考虑引用分部积分法。 5.能否综合利用或反复利用上述方法 6.最后看是否等于三种初等函数积分的基本类型,完,
