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1、变换的复合与矩阵的乘法【知识网络】 1、通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。 2、变换的复合二阶方阵的乘法。 3、通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律与消去律，验证二阶方阵乘法满足结合律。【典型例题】（2）关于矩阵乘法下列说法中正确的是 ( )A、不满足交换律,但满足消去律 B、不满足交换律和消去律C、满足交换律不满足消去律 D、满足交换律和消去律答案：B。解析：矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律。（3） A、 B、 C、 D、答案：A。解析：。 （4）若 = ，则 。（大小关系）答案：x0.7x0.8。解析： = = = = ，3x=1 x = ， 考察y=()x
2、 的图象和性质得：x0.7x0.8。（5）设A=，则A6= 。答案：。解析：A=，A6=例2：已知矩阵，向量求。 答案：M=，M2=，M3=M2M=，M3例3：设A=，E=，求使An=E的最小正整数n的值。答案：An=,又因为，所以当时，。例4：求出曲线依次经过矩阵A=，B=作用下变换得到的曲线方程。答案：由已知AB=任取曲线上一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为，则有故，P在曲线上，因此，从而曲线在矩阵AB作用下变成椭圆。【课内练习】1若，则a的值为（ ）A、 B、 C、 D、答案：D。解析：由矩阵的乘法法则知。2已知A=，B=，P=，则矩阵ABP表示的几何意义是（ ）A、点对x轴反射后，
3、再绕原点逆时针旋转角所得的坐标B、点对y轴反射后，再绕原点逆时针旋转角所得的坐标C、点绕原点逆时针旋转角后，再对x轴反射所得的坐标D、点绕原点逆时针旋转角后，再对y轴反射所得的坐标答案：A。解析：矩阵乘法不满足交换律，故首先排除C、D选项，矩阵B把点P变换为关于x轴对称的点。3设，则n的最小值为（ ）A、3 B、6 C、9 D、12答案：D。解析：，即，又，n的最小值为12。4将点(2,4)先经矩阵变换后，再绕原点逆时针旋转90角所得的点坐标为 答案：。解析：由题意知。5设A=，B=，若AB=BA，则k= 。答案：3。解析：AB=，BA=，由AB=BA知k=3。6将坐标平面上的一个图形先将其横
4、坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y轴对称的变换，再将它做关于直线y=x对称的变换，则如此平面变换所对应的二阶变换矩阵为 。答案：。解析：由题意知，所求的二阶变换矩阵为：A=。7若矩阵A=把直线变换成另一直线，则a= ,b= 。答案：0;1。解析：取上两点(0,7)和（3.5,0），则，由已知在上，代入得a=0,b=1。8求证，并从几何变换的角度给予解释。证明：左边=，右边=，故等式成立。从几何变换的角度看，表示的是先作的伸压变换，再作的投影变换；而表示的是先作的反射变换，再作的投影变换，上述两组复合变换表示的几何变换结果相同。10已知曲线，将它绕坐标原点逆时针旋转45
5、角后，再在矩阵作用下变换得到什么曲线？曲线方程是什么？答案：由已知，复合变换矩阵为M=任取曲线上一点，它在TM的作用下变为，则有，故，即，P在曲线上，因此，即，从而曲线在TM作用下变为双曲线，曲线方程为。【作业本】A组1点通过矩阵和的变换效果相当于另一变换是( )A. B. C. D. 答案：D。4已知A=，则An= （）。答案：An=。5将向量依序作如下变换：横、纵坐标分别缩短到原来的；绕原点顺时针旋转45；沿x轴方向移到y的4倍，所到向量为 解析：由题意知=。6根据下列条件求X,根据两题的结果，指出你认为正确的一个结论 X = X = 答案：X = = = X = = = 结论：矩阵乘法不
6、满足交换律。7两个矩阵的乘法的几何意义是对应变换的复合，反过来，可以对平面中的某些几何变换进行简单的分解。你能根据如图所示变换后的图形进行分解，从而知道它是从原来图形经过怎样的复合变换过来的吗？ （1） （2）8设矩阵F=表示四边形ABCD，M=，四边形ABCD经过TM作用后得到的新四边形对应的矩阵F=MF，求新四边形的面积。B组1设A、B、C都是二阶矩阵，下列叙述恒成立的是（ ）A、若AB=C，则BA=C B、若AC=BC，则A=BC、若AB=0，则A=0或B=0 D、若（AB）C=E，则A（BC）=E答案：D。解析：根据矩阵求法的运算律知。2若矩阵A将一点P先对直线作反射变换，再向y轴作投
7、影变换，则矩阵A为（ ）A、 B、 C、 D、 答案：C。解析：A=。3设圆先绕原点逆时针旋转30后，再对直线作反射则所得的图形的方程为（ ）A、 B、 C、 D、答案：A。解析：由已知，变换对应的矩阵为M=M，即圆心C经变换后得到的点坐标为(0,2)。4已知ABC，A(0,0),B(2,0),C(1,2)对它先作M= 对应的变换，再作N=对应的变换，则变换作用后所得图形的面积为_.答案：12。解析：变换后ABC变成了，其中，故。 6根据下列条件求X,根据两题的结果，指出你认为正确的一个结论 X =（ ） X = （ ）答案：X =（ ） = = X = （ ）= = = 结论：矩阵乘法满足结
8、合律。7将直线以直线为反射轴作反射变换得直线，再将直线以原点为中心，逆时针旋转30得直线，试求的方程。答案：由已知，这个复合变换对应的矩阵为A=设上任一点为，与在上对应的点为，则，所以，从而在上，即方程为。8已知可以用来表示向量，其中O (0，0),P(1,2)，那么，矩阵=既可以表示这两个矩阵对应的变换的复合矩阵，也可以看作将点(0,0)(1,2)变换成O (0，0),P(2,2)，即向量变换成了，依此解释，表示什么意思？呢？答案：，它表示将点(0,0),(1,2),(2,4)分别变换了(0,0)(2,2),(4,4)同理，它表示将点(0,0),(3,0),(2,2),(1,2)，分别变成了点(0,0),(3,0),(2,-4),(1,-4)。
