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1、 WORD资料.可编辑 2012年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1) 曲线y=x2+xx2-1渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C。【解析】由limx+y=limx+x2+xx2-1=1=limx-y=limx-x2+xx2-1,得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx1y=limx1x2+xx2-1=得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx-1y=limx-1x2+xx2-1=12得x=-1不是曲线的渐近线；综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学一元函数微
2、分学函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2) 设函数fx=(ex-1)(e2x-2)(enx-n),其中n为正整数，则f0=(A)-1n-1n-1! (B) -1nn-1!(C)-1n-1n! (D) -1nn!【答案】A【解析】【方法1】令gx=(e2x-2)(enx-n),则fx=(ex-1)gxf(x)=exgx+(ex-1)gx f0=g0=-1-2(-(n-1) =-1n-1n-1! 故应选A. 【方法2】 由于f0=0,由导数定义知 f0=limx0f(x)x=limx0(ex-1)(e2x-2)(enx-n)x =limx0(ex-1)xlimx0(e2x-2)(enx-n) =-1-
3、2-n-1=-1n-1n-1!. 【方法3】 排除法，令n=2,则 fx=(ex-1)(e2x-2)fx=exe2x-2+2e2x(ex-1) f0=1-2=-1 则(B)(C)(D)均不正确 综上所述，本题正确答案是(A) 【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(3) 设函数f(t)连续，则二次积分02d2cos2f(r2)rdr=(A)02dx2x-x24-x2x2+y2f(x2+y2)dy(B) 02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy(C) 02dy1+1-y24-y2x2+y2f(x2+y2)dx(D) 02dy1+1-y24-y2f(x2+y2)dx【答案】B。【解析
4、】令x=rcos ,y=rsin ,则r=2所对应的直角坐标方程为x2+y2=4,r=2cos 所对应的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1。由02d2cos2f(r2)rdr的积分区域2cosr2,02得在直角坐标下的表示为2x-x2y4-x2, 0x2所以02d2cos2f(r2)rdr=02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算(4) 已知级数n=1(-1)nnsin1n绝对收敛，级数n=1(-1)nn2-条件收敛，则(A)012 (B) 121(C)132 (D) 321,即32由级数n=
5、1(-1)nn2-条件收敛，知2综上所述，本题正确答案是(D)【考点】高等数学无穷级数数项级数敛散性的判定(5) 设1=00c1,2=01c2,3=1-1c3,4=-11c4,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为(A) 1,2,3 (B) 1,2,4(C) 1,3,4 (D) 2,3,4【答案】C。【解析】n个n维向量相关1,2,n=0显然 1,3,4=01-10-11c1c3c4=0所以1,3,4必线性相关综上所述，本题正确答案是(C)。【考点】线性代数向量向量组的线性相关和线性无关(6) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=100010002.若P=1
6、,2,3,Q=(1+2,2,3),则Q-1AQ=(A) 100020001 (B)100010002(C) 200010002 (D)200020001【答案】B。【解析】由于P经列变换(把第2列加至第1列)为Q，有Q=P100110001=PE21(1)那么Q-1AQ=PE21(1)-1APE21(1)=E21(1)-1P-1APE21(1) =100-110001100010002100110001=100010002综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】线性代数矩阵矩阵运算、初等变换(7) 设随机变量X,Y相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则PX+Y21=(A) 14 (B
7、) 12(C) 8 (D) 4【答案】D。【解析】PX2+Y21=x2+y21 f(x,y)dxdy而fx,y=fXxfYy=1,0x1,0y1,0, 其他即fx,y是在正方形0x1,0y0)的简单随机样本，则统计量X1-X2X3+X4-2的分布为(A)N0,1 (B)t(1)(C)2(1) (D)F(1,1)【答案】B。【解析】1， X1-X2N0,22，故X1-X22N0,1；2， X3+X4-2N0,22，故X3+X4-22N0,1，(X3+X4-22)22(1), (X3+X4-22)2/1=X3+X4-223， X1-X2与X3+X4-2相互独立。X1-X22与(X3+X4-22)2
8、也相互独立， 所以X1-X22X3+X4-22=X1-X2X3+X4-2t(1)综上所述，本题正确答案是B。【考点】概率论与数理统计数理统计的概念二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）(9) limx4(tanx)1cosx-sinx= 。【答案】e-2。【解析】这是一个1型极限，由于(tanx)1cosx-sinx=1+(tanx-1)1cosx-sinxlimx4tanx-1cosx-sinx=limx4tanx-1cosx(1-tanx)=limx4-1cosx=-2所以limx4(tanx)1cosx-sinx=e-2【考点】高等数学函数、极限、连续两个重要极限(10) 设函
9、数fx=lnx, &x12x-1, &x1,y=ffx,则dydxx=e= 。【答案】1e【解析】y=ffx可看做y=fu,与u= fx的复合，当x=e时u= fe=lne=12lne=12由复合函数求导法则知dydxx=e=f12fe=212xx=e=1e【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(11) 设连续函数z=f(x,y)满足limx0y1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0,则dz(0,1)= 。 【答案】2dx-dy 【解析】 由limx0y1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0，且z=f(x,y)连续，可得f0,1=1,且 fx,y-f0,1=2x-y-1
10、+o(x2+(y-1)2), (x0y1) 由可微的定义得 fx0,1=2,fy0,1=-1,即 dz(0,1)=fx0,1dx+fy0,1dy=2dx-dy 【考点】高等数学多元函数的微分学多元函数偏导数的概念与计算(12) 由曲线y=4x和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为 。【答案】4ln2【解析】y y=4x y=x y=4xO 1 2 x曲线y=4x和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面域如下图，则所围面积为S=014x-xdx+12(4x-x)dx=4ln2【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用(13) 设A为3阶矩阵，A=3，A*为A的伴随矩阵。若交
11、换A的第1行与第2行得到矩阵B，则BA*= 。【答案】-27【解析】【方法1】两行互换两列互换A变成B，所以A=-B,再由行列式乘法公式及A*=An-1，则BA*=B|A*=-AA2=-27 【方法2】根据题意 010100001A=B，即B=E12A 那么BA*=E12AA*=AE12=3E12 从而BA*=3E12=33E12=-27 【考点】线性代数行列式行列式的概念和基本性质 线性代数矩阵伴随矩阵，矩阵的初等变换(14) 设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，PAB=12,PC=13,则PABC= 。【答案】34【解析】A,C互不相容，自然有CA,当然更有CAB，所以PABC=P(A
12、BC)P(C)=P(AB)1-P(C)=1223=34【考点】概率论与数理统计随机事件和概率事件的关系与运算，概率的基本公式，事件的独立性三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15) 求极限limx0ex2-e2-2cosxx4【解析】【方法1】limx0ex2-e2-2cosxx4=limx0e2-2cosxlimx0ex2-2+2cosx-1x4 =limx0x2-2+2cosxx4 (等价无穷小代换) =limx02x-2sinx4x3 (洛必达法则) =12limx01-cosx3x2=16limx012x2x2=112【方法2】limx0ex2-e2-2cosxx4=limx0e2-2cosxlimx0ex2-2+2cosx-1x4 =limx0x2-2+2cosxx4
