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1、1,2,模糊数学绪论,2,产生,1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 ),基本思想,用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。,如某员工属于优秀的程度为0.6, 属于良好的程度为0.2，属于一般的程度为0.1，属于较差的程度为0.1。,3,模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支,涉及学科,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、
2、气象、信息、经济、文学、音乐,模糊数学绪论,4,模糊彩色电视机可根据室内的光线、距离屏幕 的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。 模糊空调器由于用微机进行模糊控制，到了设定时刻，空调器能够根据室温需要，采用经济的工作状态，调节合适的房间温度，既省电又省事。 模糊煮饭器一次最多可煮1.8升米饭，内装锅体温度、室温、蒸气三种传感器，用它煮饭时，每分钟检测一次加热状况，根据检测结果采用模糊理论对火力强弱进行微妙控制，使煮出来的米饭松软可口。,5,下面我们正式走进 模糊的世界,6,一、经典集合与模糊集合,模糊集合,. u,A,A,. u,非此及彼,7,亦此亦彼,U,A,模糊集合 ,元素 x,若 x
3、位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部，,则用,x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。,8,越接近于0,表示 x 隶属于A 的程度越小；,越接近于1,表示 x 隶属于A 的程度越大；,0.5,最具有模糊性，过渡点,9,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是 。,10,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：,11,例1. 有100名消费者，对5种商品 评价，,结果为：,81人认为x1 质量
4、好，53人认为x2 质量好，,所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人认为x5 质量好,则模糊集A（质量好）,12,例2：考虑年龄集U=0,100，O=“年老”，O也是一个年龄集， u = 20 A，40 呢？札德给出了 “年老” 集函数刻画:,1,0,U,50,100,13,再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属 于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：,1,0,50,U,14,二、模糊集的运算,定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,补：,模糊集合的运算,15,例3.,则：,0.3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,
5、0.1,0.8,0.3,0.5,16,并交余计算的性质,1. 幂等律,2. 交换律,3. 结合律,4. 吸收律,17,6. 0-1律,7. 还原律,8. 对偶律,5. 分配律,18,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素：,19,特点：在各次试验中， 是固定的，而 在随机变动。,模糊统计试验过程：,（1）做n次试验，计算出,20,对129人进行调查, 让他们给出“青年人”的年龄区间，,问年龄 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。,21,对年龄27作出如下的统计处理：,A(27) = 0.78,22,2、指派方法,一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。 偏小型：
6、适合描述“小”“少”“冷”“浅”“疏”“青年”等 偏大型：适合描述“大”“多”“热”“深”“密”“老年”等 中间型：适合描述“中”“不太多”“不太深”“不太浓” “暖和”“中年”等处于中间状态的模糊现象。,23,常用的模糊分布,24,25,3、其它方法,（1）选择专家； （2）确定影响债权价值的因素，设计价值分析对象征询意见表； （3）向专家提供债权背景资料，以匿名方式征询专家意见； （4）对专家意见进行分析汇总，将统计结果反馈给专家； （5）专家根据反馈结果修正自己的意见； （6）经过多轮匿名征询和意见反馈，形成最终分析结论。,26,四、模糊关系与模糊矩阵,1.模糊关系的定义 所谓A，B两集
7、合的直积 中的一个模糊关系R，是指以 为论域的一个模糊子 集，序偶 的隶属度为 一般地，若论域为n个集合的直积 ，则它所 对应的是n元模糊关系R，其隶属度函数为n个变量的函数 。显然当隶属度函数值只取“0”或“1”时， 模糊关系就退化为普通关系。,27,假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”，其余按具体相似程度给出一个01之间的数，就可确定出一个U上的模糊关系R，列表如下,设有七种物品：苹果、乒球、书、篮球、花，桃、菱形组成的一个论域U， 并设 x1 , x2 x7 分别为这些物品的代号，则 现 在就物品两两之间的相似程度来确定它们的模糊关系。,28,四、模糊矩阵,例如：,29,
8、（1）模糊矩阵间的关系及运算,定义：设 都是模糊矩阵，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,30,例4：,31,（2）模糊矩阵的合成,定义：设 称模糊矩阵,为A与B的合成，其中 。,即：,定义：,设A为 阶，则模糊方阵的幂定义为,32,例5：,33,（3）模糊矩阵的转置,性质：,34,（4）模糊矩阵的 截矩阵,显然，截矩阵为Boole矩阵。,35,例6：,36,截矩阵的性质：,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,37,（5）特殊的模糊矩阵,定义：若模糊方阵满足,则称A为自反矩阵。,例如,是模糊自反矩阵。,定义：若模糊方阵满足,则称A为对称矩阵。,例如,是模糊对称矩阵。,38,定义：若模糊
9、方阵满足,则称A为模糊传递矩阵。,例如,是模糊传递矩阵。,39,模糊聚类分析,一、基本概念及定理,40,模糊聚类分析,定理：,R是n阶模糊等价矩阵,是等,价的Boole矩阵。,意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵， 可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当在0,1上变动时，由 得到不同的分类。,41,模糊聚类分析,42,例6：设 对于模糊等价矩阵,模糊聚类分析,43,模糊聚类分析,画出动态聚类图如下：,0.8,0.6,0.5,0.4,1,44,模糊聚类分析,45,例7：设有模糊相似矩阵,模糊聚类分析,46,（1）Q型聚类：对多种属性指标的不同样本对象进行归类
10、； （2）R型聚类：对多个样品对象的不同属性指标进行归类； R型聚类分析的主要作用是： 1、不但可以了解个别变量之间的关系的亲疏程度，而且可以了解各个变量组合之间的亲疏程度。 Q型聚类分析的优点是： 1、可以综合利用多个变量的信息对样本进行分类； 2、分类结果是直观的，聚类谱系图非常清楚地表现其数值分类结果； 3、聚类分析所得到的结果比传统分类方法更细致、全面、合理。,模糊聚类分析,Q型与R型聚类分析：,47,二、模糊聚类的一般步骤,、建立数据矩阵,模糊聚类分析,48,（1）标准差标准化,模糊聚类分析,49,（2）极差正规化,（3）极差标准化,模糊聚类分析,50,、建立模糊相似矩阵（指标属性点
11、间的距离）,（1）相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,模糊聚类分析,51,（2）距离法（样本点间的距离）,绝对值距离,欧氏距离,切比雪夫距离,模糊聚类分析,闵可夫斯基距离,52,（3）贴近度法,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,模糊聚类分析,53,3、聚类并画出动态聚类图,（1）模糊传递闭包法（将相似矩阵化为等价矩阵）,步骤：,模糊聚类分析,54,模糊聚类分析,55,解：,由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,模糊聚类分析,56,用最大最小法构造 模糊相似矩阵得到,模糊聚类分析,57,用平方法合 成传递闭包,58,取 ，得,模糊聚类分析,59,取 ，得,取 ，得,
12、模糊聚类分析,60,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,61,画出动态聚类图如下：,模糊聚类分析,62,(2) 最大树法 由我国吴望名教授提出, 设R是有限论域X上的模糊关系, 称二元有序组G=(X,R)为模糊关系图. 给定X上的模糊关系R后, 可根据Kruskal法得到图G=(X,R)的一棵最大树, 具体做法如下:,63,先画出被分类的元素集. 从R中按rij从大到小的顺序依次连枝,标上权重. 若在某一步会出现回路,便不画那一步. 直到所有元素连通为止,这样便得到一棵最大树. 取定0,1，砍断权重低于的枝, 就可得到一个不连通的图, 各连通分支就构成了在水平上的分类. 这种模糊聚类方法叫做最大
13、树法.,64,65,(3) 编网法 由我国赵汝怀教授提出,它是直接由模糊相似矩阵R 出发，经过“编网”直接完成聚类的。 具体做法是：取定水平0，1，求得截矩阵 R，并将R的主对角线上填入元素，在主对角线的 下三角部分，以“*”号代替R中的“1”，而“0” 则略去。由“*”号向主对角线上引经线（竖线） 和纬线（横线），即称之为“编网”，凡能由经线 和纬线互相连结的元素则属于同类。(上例),66,4、最佳阈值的确定（确定多少类才合适）,模糊聚类分析,（1） 按实际需要，调整 的值，或者是专家给值。,（2） 用 F - 统计量确定最佳值。,67,模糊聚类分析,第j类中第k个变量的平均值:,设对应于的
14、分类数为r，第j类的样品数为nj , j类的样本记为:,68,模糊聚类分析,定义F-统计量为:,表征了类与类之间的距离,表征类内样品间的距离,F越大,表明类间的差异越大,分类效果就越好。,69,假设各类差异不明显，对于给定的检验水平，查F(r-1, n-r)分布表，得临界值F，若FF,则认为各类之间有明显的差异。,F服从自由度为r-1，n-r的F分布。,70,模糊聚类分析的简要流程:,71,模糊模式识别,72,模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化
15、，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。,模糊模式识别,73,在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的模式识别问题。在经济分析，预测与决策中，在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。 本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题 点对集；另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题 集对集。,模糊模式识别,74,点对集,1. 问题的数学模型 (1) 第一类模型：设在论域 X 上有若干模糊集：A1，A2，AnF ( X )，将这些模糊集视为 n 个标准模式，x0 X 是待识别的对象，问 x0 应属于哪个标准模式 Ai ( i =1，2， n ) ?,(2) 第二类模型：设 AF ( X )为标准模式，x1, x2, , xn X 为 n 个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个 xi (i =1，2， n ) ?,模糊模式识别,75,一最大隶属原则,最大隶属原则：,最大隶属原则：,模糊模式识别,
