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1、2011高三数学一轮复习学案 编号：037 课题：三视图与几何体的体积、表面积 一、基本知识1.平行投影与中心投影2.斜二测画法的画法规则：已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴，两轴交于点O，使xoy=45（或135）。它们确定的平面表示水平平面.已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半.3.三视图间的投影规律，通常概括为：“长对正、高平齐、宽相等”。这个规律是画图和读图的根本规律，无论是整个物体还是物体的局部，其三视图都必
2、须符合这个规律。 应当指出：物体的宽度在俯视图中为竖直方向，在左视图中为水平方向，因此根据宽相等作图时，要注意宽度尺寸量取的方向和起点4、_二、【课前基础练习】1 利用斜二测画法画直观图时，三角形的直观图还是三角形；平行四边形的直观图还是平行四边形；正方形的直观图还是正方形；菱形的直观图还是菱形.其中正确的是_.2、画水平放置的边长为2cm的正六边形的直观图3.两条不平行的直线，其平行投影不可能是两条平行直线一点和一条直线两条相交直线两个点4、已知直平行六面体的底面是菱形，过不相邻的两对侧棱的平面的面积分别是P和Q，求它的侧面积.5、正四棱台的上底面边长为4cm，下底面边长为8cm，侧棱长为c
3、m，求其体积.三、【例题解析】例1（00全国）如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_(要求：把可能的图的序号都填上)方法总结： 例2下图是一个四面体ABCD的三视图，另外给出三个边长是2的正方形，使得三视图的A、B、C、D或是正方形的顶点或是边的中点，则原四面体中AB+BC+CD+DA=_.方法总结：例3已知正四棱台的高为8cm，两底面边长之差为12cm，全面积为672cm2.求（1）棱台的侧面积；（2）截得棱台的原棱锥的侧面积.方法总结：例4 一个正三棱柱的容器，高为，内装水若干（如图甲），将容器放倒，把一个侧面作为底面（如图乙），这时水面为中截面，求
4、图甲中水面的高度.方法总结：例5已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积和体积方法总结：例 6(2007广东文) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形 (1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S方法总结：四、课堂练习1.若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 2、如图：三图顺次为一个建筑物的主视图、左视图、俯视图，则其为_的组合体 圆柱和圆锥立方体和圆锥正四棱柱和圆锥 正方形和圆五、【巩固练习】1.两条直线
5、的平行投影可能是两条平行直线 两条相交直线一点和一条直线 以上都有可能2.如图所示的直观图的平面图形是任意梯形 直角梯形任意四边形 平行四边形3.已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原三角形ABC的面积为 4. 已知一正三棱台的两底边长分别为30cm和20cm,且其侧面积等于两底面积之和，求棱台的高.5.若由相同的小正方体构成的立体图形的三视图如图所示,这个立体图形最少有多少个小正方体构成 左视图 主视图 俯视图6个7个8个9个6.如图，在长方体中， AB=6，AD=4，.分别过BC、 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为， .若，则截面 的面积为 167.在棱长
6、为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 8.如图，在体积为1的三棱锥ABCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥OBCD的体积等于9.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则10.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为六、
7、【课外作业】1.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2. 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是 4.圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，已知，这个圆台的侧面积为81cm3,求和.5.已知a、b为不垂直的异面直直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是 .两条平行直线;两条互相垂直的直线;同一条直线;一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是_（写出所有正确
8、结论的编号）.2020正视图20侧视图101020俯视图6.（07年海南）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 7.（1）若一个四边形的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积是 .（2）若一平面图形的直观图是直角边长为的等腰直角三角形，则原图形的面积是 8平面过正方体的顶点A和它的对角线垂直，在上的正投影的面积和正方体在上正投影的面积的比值是_.拆成三节课 在体积为1的三棱锥A-BCD侧棱AB,AC,AD上分别取点E,F,G,使AE/EB=AF/FC=AG/GD=2,记O为三平面BCG,CDE,DBF的交点,则三棱锥O-BCD的体积为( )详细过
9、程！ 选项有1/9 1/8 1/7 1/4 答案是1/7 如图（图有点复杂，看起来有点麻烦，你可以按照下面的步骤一步一步的跟着作，这样好理解一些） 为了方便计算，我们不妨设三棱锥A-BCD为正三棱锥 按照AE/EB=AF/FC=AG/GD=2的比例描出点E、F、G 连接EF、FG、EG 因为AE/EB=AF/FC=AG/GD，所以：EF/BC，且：EF/BC=2/3 同理，FG/CD，且FG/CD=2/3 EG/BD，且EG/BD=2/3 连接BG、CG、CE、DE、BF、DF，设CE、BF相交于点M；CG、DF相交于点N；BG、DE相交于点P 再连接CP、BN，两者的交点即为点O 这是因为：
10、PC是面CDE和面BCG的交线，则点O在PC上 BN是面BCG与面BDF的交线，则点O在BN上 那么，PC、BN的交点即为点O 连接GO，交PN于点T；延长GO交BC于点Q，则由对称性知，T、Q分别为PN、BC中点 分别过点A、G、O作底面BCD的垂线，垂足依次为A、G、O，则点A、G、O均在DQ上 那么，AA为正三棱锥A-BCD的高；OO为正三棱锥O-BCD的高 因为底面BCD相同，则它们的体积比为高之比 已知三棱锥A-BCD的体积为1 所以，三棱锥O-BCD的体积为：OO/AA（1） 由前面知，FG/CD且FG/CD=2/3 所以由平行得到，FG/CD=GN/NC=2/3 所以，GN/GC
11、=2/5【面BCG所在的平面图如左上角简图】 同理，GP/GB=2/5 则，GN/GC=GP/GB 所以，PN/BC 那么，PN/BC=GN/GC=2/5 亦即，GT/GQ=GN/GC=2/5 设GQ=x 那么，GT=(2/5)x 则，QT=GQ-GT=x-(2x/5)=(3/5)x 而，TO/OQ=TN/BQ=PN/BC=2/5 所以：TO/QT=2/7 则，TO=(2/7)*QT=(2/7)*(3/5)x=(6/35)x 所以：GO=GT+TO=(2/5)x+(6/35)x=(4/7)x 所以，OQ=GQ-GO=x-(4x/7)=(3/7)x 又，OQ/GQ=OO/GG 所以，OO/GG=(3/7)x/x=3/7（2） 且，DG/DA=GG/AA 所以：GG/AA=1/3（3） 由(2)*(3)得到：OO/AA/=(3/7)*(1/3)=1/7 代入到(1)得到： 三棱锥O-BCD的体积就是OO/AA=1/7 8
