《高中数学 第二章 推理与证明 3 数学归纳法 （2）课件 新人教b版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 推理与证明 3 数学归纳法 （2）课件 新人教b版选修2-2（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 数学归纳法 （2）,内容：,应用:,1、用数学归纳法证明等式与不等式,2、用数学归纳法证明整除性与几何问题,数学归纳法,重点: 用数学归纳法证明一些简单的数学问题. 难点:数学归纳法证明不等式时第二步的放缩.,1.掌握数学归纳法证题的两个步骤; 2.初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式,不等式及整除问题等),3、用数学归纳法归纳、猜想、证明,本课主要学习数学归纳法。以两个小问题引入新课，对数学归纳法的步骤分析准确、详细，精心选择三道例题, 分别是用数学归纳法证明等式与不等式、用数学归纳法证明整除性与几何问题、归纳、猜想、证明在实际问题中的应用.题目新颖，难度由浅
2、入深，与数列、解析几何、导数、方程等知识融合交汇，体现证明等式、不等式等高考常考内容，计算量不大，答案详细，分析准确. 在讲述数学归纳法的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1巩固掌握用数学归纳法证明等式与不等式.通过例2和变式2掌握用数学归纳法证明整除性与几何问题。通过例3用数学归纳法归纳、猜想、证明。采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解数学归纳法的应用。,问题1:请回顾数学归纳法的步骤.,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:,2使用数学归纳法证明不等式的难点在第二个步骤上,这时除了一定要用到归纳假设外,还要较多的运用不等式证明的方法,对所要证明的不等式加以变形,寻
3、求其与归纳假设的联系是问题的突破口.,注意:在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.”,用数学归纳法证明等式与不等式 【典例1】(1)已知n为正偶数，用数学归纳 法证明 时， 若已假设n=k(k2，且为偶数)时命题为真，则还需要用归纳 假设再证n=( )时等式成立( ) A.k+1 B.k+2 C.2k+2 D.2(k+2),(2)等比数列an的前n项和为Sn,已知对任 意的nN*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1,b,r均为常数) 的图象上. 求r的值. 当b=2时,记bn=2(log2an+1)(nN*),证明:对任意的nN*,不
4、等式 成立.,【规范解答】(1)选B.因为n=k为偶数,所以下一个与之相邻的偶数为n=k+2. (2)由题意,Sn=bn+r, 当n2时,Sn-1=bn-1+r. 所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1). 由于b0且b1, 所以n2时,an是以b为公比的等比数列. 又a1=b+r,a2=b(b-1), 所以,由及b=2知an=2n-1, 因此bn=2n(nN*), 所证不等式为 ()当n=1时，左式= 左式右式，所以结论成立.,()假设n=k(k1,kN*)时结论成立，即 则当n=k+1时， 要证当n=k+1时结论成立， 只需证 即证,由基本不等式得 成立， 故 成立， 所以，当n=k+
5、1时，结论成立. 由()()可知，nN*时，不等式 成立.,【规律方法】运用数学归纳法证明问题时应注意的四个问题 (1)由假设n=k成立证n=k+1时,要推导详实,并且一定要运用n=k成立的结论. (2)要注意n=k到n=k+1时增加的项数. (3)n=n0时成立.要弄清楚命题的含义. (4)对于不等式在证明由n=k变化到n=k+1时,除了应用综合法外还可用分析法、反证法、求差、求商比较法及放缩法等加以证明.,若本例(1)中将n改为正奇数,若已知n=2k-1 (kN*)时命题为真.则下一步证明,n= 时等式成立. 【解析】由题意可知n为正奇数,取n=2k-1的下一个奇数为n=2k+1. 答案:
6、2k+1,用数学归纳法证明整除性与几何问题 【典例2】(1)用数学归纳法证明34n+1+52n+1(nN)能被8整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为( ) A.5634k+1+25(34k+1+52k+1) B.3434k+1+5252k C.34k+1+52k+1 D.25(34k+1+52k+1) (2)用数学归纳法证明:凸n边形的对角线的条数为f(n)= n(n-3)(nN,n3).,【规范解答】(1)选A.n=k+1时, 34(k+1)+1+52(k+1)+1=25(34k+1+52k+1)+5634k+1, 由n=k时,能被8整除,即(34k+1
7、+52k+1)能被8整除,而5634k+1也能被8整除,故n=k+1时成立.,(2)因为三角形没有对角线, 所以n=3时,f(3)=0,命题成立. 假设n=k(k3)时,命题成立,即f(k)= k(k-3), 则当n=k+1时,凸k边形由原来的k个顶点变为k+1个顶点,对角线条数增加k-1条. 所以f(k+1)=f(k)+k-1= k(k-3)+k-1 = (k+1)(k+1)-3. 所以当n=k+1时命题成立,由,可知对任何nN且n3,命题恒成立.,【易错警示】关于几何问题的变化情况 本例(2)中由n=k变换到n=k+1时,对角线条数不会求,或根本看不清其变化情况导致错解.,【规律方法】证明
8、整除性与几何问题的关键 (1)证明整除问题的关键“凑项” 证明整除问题的关键是“凑项”,即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题获证.,(2)证明几何问题的关键“找项” 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成k+1个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析;事实上,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧.,【典例3】是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.,点拨:对这种类型的题目,一般先
9、利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,归纳、猜想、证明,(2)假设当n=k时结论正确,即:,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.,(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.,已知函数f(x)=rx-xr+(1-r)(x0), 其中r为有理数,且0r1.求f(x)的最小值. 试用的结果证明如下命题: 设a10,a20,b1,b2为正有理数,若b1+b2=1,则 a1b1+a2b2. 请将中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.
10、注:当为正有理数时,有求导公式(x)=x-1.,【解答】f(x)=r-rxr-1=r(1-xr-1),令f(x)=0,解得x=1. 当01时,f(x)0,所以f(x)在(1,+)内是增函数. 故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0. 由知,当x(0,+)时,有f(x)f(1)=0,即xrrx+(1-r).() 若a1,a2中至少有一个为0,则 a1b1+a2b2成立;,若a1,a2均不为0,又b1+b2=1,可得b2=1-b1,于是 在(i)中令x= ,r=b1,可得 b1 +(1-b1), 即 a1b1+a2(1-b1),亦即 a1b1+a2b2. 综上,对a10,a20,b1,b2
11、为正有理数且b1+b2=1,总有 a1b1+a2b2. () 中命题的推广形式为: 设a1,a2,an为非负实数,b1,b2,bn为正有理数. 若b1+b2+bn=1,则 a1b1+a2b2+anbn. (),用数学归纳法证明如下: (1)当n=1时,b1=1,有a1a1,()成立. (2)假设当n=k(k1,且kN*)时,()成立,即若a1,a2, ak为非负实数,b1,b2,bk为正有理数,且b1+b2+bk=1,则 a1b1+a2b2+akbk. 当n=k+1时,已知a1,a2,ak,ak+1为非负实数,b1,b2,bk,bk+1 为正有理数,且b1+b2+bk+bk+1=1,此时00,
12、于是 因 由归纳假设可得,从而 又因(1-bk+1)+bk+1=1，由()得 从而 a1b1+a2b2+akbk+ak+1bk+1.故当n=k+1时,()成立, 由(1)(2)可知,对一切正整数n,所推广的命题成立.,正确运用数学归纳法 用数学归纳法证明的关键在于两个步骤,要做到“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”.因此必须注意以下三点: (1)验证是基础. 数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n0,这个n0就是要证明的命题对象的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.,(2)递推乃关键. 数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程,必须把归纳假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题,在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次.,(3)寻找递推关系的方法. 在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的. 探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察n处在哪个位置. 在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚. 提醒:在求由“k”到“k+1”时函数f(x)变化的项时,一般把n=k,n=k+1分别代入,将两式作差求得.,
