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1、第七章 量子力学中的力学量,经典粒子：可用坐标和动量来描写状态，任何状态下，力学量都有确定值。 微观粒子：坐标和动量不能同时有确定值，所以状态用波函数表示，力学量用算符表示。,7.1 表示力学量的算符,一、算符 、算符是指作用在一函数上得出另一函数的运算符号。,、算符的本征值方程,、算符的例子 动量算符： 分量式： 动量算符 表示动量这个力学量。 坐标算符： 哈密顿算符： 经典的哈密顿函数： ，将 代入 中得：, 量子力学中力学量用算符表示的规则： 如果量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的力学量，则算符 由经典表示式 中将 换为算符 而得出：,例如，角动量算符：,量子力学中的角动量算符：,
2、二、力学量用厄米算符表示(Hermit operator),、当体系处于定态，即哈密顿算符 的本征态 时，能量有确定值 ， 即本征值。当体系处于动量算符的本征态 时，动量有确定值，这个值即 在 态中的本征值。 、算符 表示力学量 ，当体系处于 的本征态 时，力学量有确定值，这个值即 在 态中的本征值。 因为所有力学量的数值都是实数，而表示力学量的算符的本征值就是测量此力学量的可能值，所以，表示力学量算符的本征值必须为实数。 什么类型的算符，本征值为实数？,、厄米算符 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符。 定义：若 则 称为厄米算符。式中 代表所有变量，积分范围为所有变量变化的整个区域。 、
3、证明厄米算符的本征值是实数。 证：,验证：坐标算符和动量算符是厄米算符。 坐标值 为实数，,对动量算符的一个分量 ，有,分部积分,一、动量算符 、动量算符的本征值方程 是动量算符的本征值， 是属于此本征值的本征函数。 分量式：,7.2 动量算符和角动量算符,它们的解是 本征值 可取所有实数，构成连续谱。 、动量本征函数的归一化,求归一化常数 ？,计算积分：,如果取 ，则动量本征函数归一化到 函数。,即,其中,为什么 不能归一化为1，而是归一化为 函数：这是由于动量本征值可以取连续值， 的各分量可取任意实数，动量本征值构成连续谱。,、动量本征值的分立化：箱归一化,设想将粒子限制在一个边长为L的正
4、方形箱中，取箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件：要求波函数在两各相对的箱壁上的对应点有同值，即,或 这样 只能取分立值：,同理，根据周期性条件 和 可得到,相邻两个分立值的差：,当 时： 分立值连续谱。,引入周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化 为，归一化常数 ，即 证： 这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件归一化方法，称为箱归一化。 、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数，它是动量算符的本征态。,测量粒子的动量 ，有确定值 ，即动量算符的本征值。 二、角动量算符 、定义：角动量算符 分量式为,、角动量平方算符： 利用直角坐标和球坐标变量之间的关系 可得,这样 、角动量
5、 分量算符 ：,或,、角动量平方算符的本征值方程：,（17）,（14）,7.3 厄密算符本征函数的正交性,一、属于动量算符不同本征值得两个本征函数 和 互相正交：,引入函数的标积： 则(1),(2)两式可以简化记为：,当,动量算符是厄密算符，量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它们的本征值是实数。以上正交性 仅是厄密算符本征函数正交性的一个特例,二、定理：属于厄密算符不同本征值的两个本征函数互相正交。 证：,又 （厄密的本征值为实数）,（1）式右乘 ，积分： 简记： （2）式左乘 ： 简记： 根据厄密算符的定义 简记：,联立（4）、（5）即： 简记：,(6)式移项： 简写： 而 ，必有 简
6、写： 或表示为：,(6),其中 符号,如果 的本征值不分立，而是构成连续谱。则本征函数 可以归化为 函数： 例如动量算符本征函数 2.正交归一本征函数一例：无限深势阱 能量本征函数,（9）,是体系属于的能量算符 的本征值 的本征函数， 对不同的 值（能级 )正交： 其中： 证： 积化和差,3. 是 的本征值 的本征函数 的正交性 三、正交归一函数的例子（厄密算符本征函数互相正交） 1）线性谐振子,2.角动量算符 的本征函数，本征值,3.角动量平方算符 的本征函数，属于本征值 ：,2）一维势阱,缔结legendre函数正交性：,而球谐函数： 4.氢原子波函数，算符：,n不同:,三个量子数均不同：
7、 四、简并态函数的正交性 当 的本征值 是 度简并： 一般而言 不正交，但可用 个常数将 个函数重新组合成 个新函数：,总可以选择 而使正交归一条件成立：,一般地，考虑到力学完全集中其它算符对简并态重新分类，可组合消除简并。 如 对 简并，但对 则不简并，归一化为 。,7.4 算符与力学量的关系,根据数学物理方法中的证明，如果有一族函数 构成正交归一完全系，则任意函数都可以用 来展开为级数（广义傅里叶级数）。如果函数系 不构成分立的集合，则可以展开为傅里叶积分。 如果函数系 和 都是正交归一完全系。,一、波函数按厄密算符的本征函数系展开,1.分立谱 如果 是满足一定条件的厄密算符，它的正交归一
8、本征函数系 对应的本征值为 则任一函数 可以按 展开为级数： 其中 与 无关。本征函数的这种性质称为完全性（完备性），或说 组成完全系。 用 积分，可得系数 ：,一般为复数不含x,设 已归一化，则 的模方之和为1： 展开系数 的物理意义： 表示在 态中测量力学量 得到结果为 的本征值 的几率。 为几率幅。 一般， 不一定为力学量 的本征态，是这些 的混合态，如：,(2),(3),即,线性谐振子的能量本征态为 ，而粒子可能处于混合态 例如 且 则粒子处于谐振子基态的几率为 , 一激态几率： , 二激态几率： . 相应的测量E得： 例：粒子处于 态,2.连续谱 1）当力学量的测量值（厄密算符 的本
9、征值）构成部分分立，部分连续的集合即 为连续变量,其中 则 这时， 表示测量力学量 结果在 之间的几率 2）例氢原子处于基态 求电子动量的几率分布 解：将 原子基态用动量算符的本征函数 展开： 其中几率幅：,（7）,电子动量的几率分布密度： 构成连续谱,电子动量数值介于 之间的几率： 可以证明 二、力学量的平均值 1.在状态 中测量力学量 会得到一系列可能值， 各以一定的几率 出现，对应于算符 的本征态（本征函数） ，则 测量值（本征值）： 本征态： 出现几率：,力学量 的平均值 即 2.,证明：,（14）,（14）式适用于归一化的 若 未归一化，则 3.例题 线性谐振子的能量本征态 而粒子可
10、能处于混合态 例如： 且 则粒子处于谐振子基态的几率为 ,一激态几率： , 二激态几率： 相应的测量E得： 。 在 态中，粒子能量的平均值 应为：,而 一般： 4.如果力学量算符 的本征值部分构成分立谱，部分构成连续谱，则平均值,三、量子力学的基本假定之一：力学量与算符的关系 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征函数构成完全系,当体系处于由波函数 所描写的状态时，测量力学量 所得数值，必定是算符 的本征值 之一 ，测的 的几率是 。 这一假定由实验证明。 在一般的微观状态 中，力学量 一般没有确定的值，测量 可得一系列可能值 ，这些 就是表示这个力学量的算符的本征值，每一本征值都
11、以一定的几率 出现，因而平均值 。,量子力学中力学量用算符 表示，通过求解算符的本征值方程 得到算符的本征值 和相应的本征函数 ； 表示力学量的算符都是厄密算符，它们的本征函数构成完全系，即任何函数 可以用 展开： 当体系处于算符 的本征态 时，力学量F有确定的值，这个值就是相应的本征值 ； 当体系处于波函数 所描写的一般态时，力学量F没有确定的值，这时测量力学量F所得数值，必定是算符 的本征值之一，测得 的几率是 ，,量子力学中力学量用算符,表示，通过求解算符的本征值方程,得到算符的本征值,和相应的本征函数,；表示力学量的算符都是厄密算符，它们的本征函数构成完全系，任何函数,可以用,展开,；
12、当体系处于算符,的本征态,时，力学量F有确定的值，这个值就是相应的本征值,；当体系处于波函数,所描写的一般态时，力学量F没有确定的值，这时测量力学量F所得数值，必定是算符,的本征值之一，测得,的几率是,，,。,例 设粒子在一维无限深势阱中运动，(0,a)，如果粒子状态由波函数 描写，求粒子能量的可能值和相应几率，并求能量平均值。 解：,本征函数： ，能量函数： 状态 可视为一系列本征态的迭加态： 求出各 ，即得几率：,方法一：公式法,方法二：直接化简为若干正弦函数的迭加,能量可能值 能量可能值 平均值：,7.5 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 一、算符的对易关系 1.对
13、于任一波函数 ，有,注意：算符的意义是对波函数（状态）进行运算操作，算符之间的关系是先后对同一波函数操作的结果之间的关系,（1）,（2）,显然（1）（2）两种操作之间结果不同： 其中 为任意波函数 记为 （5）式称为算符 和 的对易关系(comutation relation),等式不为零，我们说， 与 不对易。 同理,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,注意(5),(6),(7)左边 表算符乘积交易次序之差（测量次序不同结果不同） 另外:,(8),(9),称上面三组算符之间对易。 一般结论：动量分量算符和它对应的坐标算符不对易。如 ；而和它不对应的坐标之间对易（如x 和 ， y和 ），动量各分量算符之间是对易的。,(10),(5),(6),(7)可合并记为 (8),(9),(10)可合并记为 (11)式为量子力学基本对易式 2.其它力学量之间的对易关系 1）量子力学中算符的一般性质： （a）线性算符：满足 描写客观测量的都是线性算符，这是态迭加原理的反映。 单位算符 ：满足,(b)算符之和，满足 如哈密顿算符 ，而 , ， ， (c)算符之积， 算符 对 的运算结果，等于 先对 运算，然后再用 对 运算
