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1、光 学 光学思考题解答 第一章 光和光的传播 1 1为什么透过茂密树叶缝隙投射到地面的阳光形成圆形光斑? 你 能设想在日偏食的情况下这种光斑的形状会有变化吗? 答: 这与针孔成像的原理是一样的。 光斑是太阳的像,其形状与太阳 相似,而与小孔(树叶缝隙)形状无关。 当日偏食发生时,光斑的形状将随之 改变,但仍保持相似关系。 1 2试说明,为什么远处灯火在微波荡漾的湖面形成的倒影拉得很 长。 答: 湖中灯火的倒影是灯光经湖面反射所成的像。当湖面平静如镜时, 灯光将在水面下对称处形成轮廓清晰的倒影。当微风吹过时,平静的湖面泛 起层层细浪,宛如一块块小平面镜;在每一块小镜面下方与灯火对称处,都 会出现
2、一个对称的灯影。 因为这些小镜面不在同一平面上,所以各自所成 的像的位置也不同。因为水面大体上是水平的,通过灯和眼睛作一竖直平 面, 从远离此平面的像点发出的光不通过我们的眼睛, 我们看不到这些像 点,只有这一平面附近的像点我们才看得到。 所以我们看到的是灯的下方 一系列的像点, 即一个上下拉长的倒影。 思考题 1 3有人设想用如本题图所示的反射圆 锥腔使光束的能量集中到极小的面积上,因为 出口可以做得任意小,从而射出的光束的能流 密度可以任意大。这种想法正确吗? 答: 如下图所示,圆锥的截面两母线是不平行的,从入口进入的光线, 在逐次反射过程中入射角不断减小,必然会在某一点(如图中 P 点)
3、处光线 从法线右侧入射,从而使光线返回入口。 所以,仅从光的反射定律来分析即 可看出,欲用反射圆锥腔来聚焦光束能流的设想是不可能实现的。 1 4为什么日出和日落时太阳看起来是扁的? 答: 这是由于太阳发出的光线穿过地球周围大气层时的折射造成的。 利用思考题 有关蒙气差的结论,旭日或落日的下边缘比上边缘更接近 地平线, 其视高度抬高得更多, 于是太阳看起来是扁的。 1 5大气折射给星体位置的观察造成的偏差,叫做蒙气差,这是天文 学必须考虑的因素。试定性地讨论蒙气差与星体到天顶距离之间的关系。 答: 大气的密度随高度的增加而减小, 折射率也随高度的增加而逐渐降 低。来自星体的光线穿过大气层时从光疏
4、介质 到光密介质,光线折射愈来愈向法线靠近,即 向地面弯曲。 我们从地面上观察光线好像是从 较高的位置射来的,也就是说,我们感到发光 点的位置 i 比实际位置 i高了角度 i i (见右图 a), 这就是蒙气差。 蒙气差 是随发 光点到天顶的角距离 i的增大而增大的(见 右图 b), 即愈接近地平线,星体的视高度增 加得愈多。 定量计算的结果可证明这一点: nsini nsini , i arcsin n n sini , d di (n n)cosi (n n) sin i 由于 n n , (n n) sin i sin i cosi, 于是 d di (n n) , 即 随 i递增。 1
5、 6试讨论平行光束折射后截面积的变化。 答: 如右图所示,设平行 光束的入射角为 i,折射角为 i, 则折射光束和入射光束截 面之比为 S S l l AB cosi AB cosi cosi cosi 即平行光束在介质的界面上 折射时,折射光束和入射光束 的横截面积之比等于折射角 和入射角的余弦之比。 这一结论正是能量守恒所要求的。 光 学 思 考 题 解 答 1 7惠更斯原理是否适用于空气中的声波? 你是否期望声波也服从 和光波一样的反射定律和折射定律? 答: 惠更斯原理是关于波面传播的理论,对任何波动过程它都是适用 的。不论是机械波或电磁波,只要知道某一时刻的波面,都可以用惠更斯作 图法
6、求出下一时刻的波面, 由此可以导出波的反射定律和折射定律。 这既 适用于光波,也适用于声波。 不过声波的波长比光波的大得多,反射面或折 射面太小时, 衍射现象严重。 1 8一儿童落水,岸上青年奔去抢救。设他在岸上奔跑的速度为 v, 泅水的速度为 v, vv,他从 A 点出发应采取怎样的路径最快地到达孩 子处 B(见本题图)? 这个问题与光的折射定律有什么相似的地方? 思考题 答: 如右图所示, 设青年 入水的地点 C, 从A、 B点作湖 岸的垂线 AE 和 BD, DE L, DC x,则CE L x青年从A 经 C 到 B 的时间为 t AC v CB v y (L x) v y x v 取
7、 t 对 x 的导数以求最短时间: dt dx L x vy (L x) x vy x sin v sin v 即sin v sin v 这与光线从光疏介质到光密介质折射的规律形式完全一样。 光线服从费马 原理, 即走光程最短的路径。 光程最短即时间最短, 道理都是相通的。 第一章 光和光的传播 第二章 几何光学成像 2 1() 如本题图 a 所示, 若光线 、 相交于 P 点, 经过一理想光 具组后, 它们的共轭线 、 是否一定相交? 如果有交点, 令此交点为 P , 两光线在 P、 P 间的光程是否相等? () 如本题图b所示, 若光线、 平行, 经过一理想光具组后, 它们的 共轭线 、
8、是否一定相交? 如果有交点, 令此交点为 P ,作 AA垂直于 、 , 光程(AP ) 和(AP ) 是否一定相等? () 如本题图 c 所示, 从点光源 Q 发出两根光线 和, 光线 经棱镜 偏折, 光线 不经过棱镜, 两光线相交于 P, 在 Q、 P 间两光线的光程是否 相等? 思考题 答: () 理想光具组必须保证同心光束保持同心性, 即相交于一点的 入射光线经理想光具组变换后, 其出射光线必然也交于唯一的一点。 所以 图 a 中交于 P 点的入射光线 、 之共轭光线 、 必定交于一点。 若交点 为 P ,则P和P 点为物像共轭点, 根据物像等光程性原理,两光线在P和P 间光程相等。 (
9、) 图b中的入射光线、 平行,相当于交点在无穷远处,令该交点为P; 由() 的分析可知,其共轭光线 、 也必定交于一点。 若交点为 P , 则 P 和 P 点为物像共轭点。 根据物像等光程性原理有光程(PAP ) (PAP )又 因线段 AA垂直于光线、 , 故 A、 A为入射光等相面上的两点, (PA) (PA), 因此有(AP ) (PAP ) (PA) (PAP ) (PA) (AP ) () 在图 c 中光线 在 Q、 P 两点间光程显然大于光线 在 Q、 P 两点 间的光程。 棱镜不是成像的理想光具组, Q、 P 不是物像共轭点, 其间不存 在等光程性。 2 2在图 a 中用通过 M
10、 点与椭球面相切的球面反射镜代替椭球 面反射镜,在下列三种情况下光线 QMQ 的光程是极大值、极小值,还是恒 定值? () 球面的半径大于椭球在 M 点的曲率半径, () 球面的半径等于椭球在 M 点的曲率半径, () 球面的半径小于椭球在 M 点的曲率半径。 答: () 如右图, M 点在曲率半径大于椭球面 的球面上, P 点在椭球面上。根据椭球的特性知,光 程(QPQ ) (QMQ )由于 PQ PM M Q , 所以光程 (QMQ ) (QPQ ) (QM Q ) 光线 QM Q 是违背反射定律的, 即入射光线 QM 在 M 点反射后不会通过 Q 点; 而光线 QMQ 是符合反射定律的,
11、 因此,在球面反射镜 MM 上的实际光线 QMQ 是光程为极小的情形。 同理可证,在()和()中,光线 QMQ 的光程分别是恒定值和极大值。 此外,我们还可设想有一在 M 点与椭球外切于左侧而内切于右侧的反 射镜, 则光程(QM Q ) 取拐点值。 由此可见,费马原理所讲的光线的实际 路径是光程为平稳的路径, 平稳光程可以 有上述四种基本形态, 相应的实际例子都 是可以被找到的。 2 3为什么平面镜成像左右互易,而 上下不颠倒? 答: 若一个人面对镜子站着, 相对于 空间来说,镜中的像上下左右都没有颠倒, 而是前后易位(见右图)。 不过我们是相对 于上下前后来定义左和右的, 前后易位, 右手坐
12、标系变成了左手坐标系。 2 4将物体放在凸透镜的焦面上,透 镜后放一块与光轴垂直的平面反射镜,最后的像成在什么地方? 其大小和 虚实如何? 上述装置中平面镜的位置对像有什么影响? 你能否据此设计出 一种测凸透镜焦距的简便方法?(此法称为自聚焦法。) 答: 如右下图所示,凸透镜 L 前焦面 F 上轴外物点 P 发出的发散同心光 束,先经透镜 L 后转化为斜入射到平面镜 M 上的平行光束; 然后经 M 反射 后转化为自右向左的倾斜平行光束;再次通过透镜 L 后必聚于焦面 F 上的 一点P 由M上入射平行光和反射平行光在方向上的对称性可知P 必与P 第二章 几何光学成像 对于光轴对称。 因此,凸 透
13、镜焦面 F 上的物经上 述系统后成与原物大小 相同的倒立实像于原焦 面 F 上。 前后移动平面 镜对像的大小、正倒、虚 实及位置均无影响。 利 用此装置即可测定凸透 镜的焦距: 沿光轴前后 挪动透镜 L, 当平面镜反射回来的光束在物面上成像最清晰时,这时物与透 镜距离就等于透镜的焦距 f这就是所谓“自聚焦法”。 2 5上题中测焦距的方法能否用于凹透镜? 答: 自聚焦法也可用于测凹透镜的焦距,不过要有一个凸透镜作为辅助。 光路如上图所示。 起初先撤走待测凹透镜 L, 令物点 A 通过凸透镜 L成实 像于 A , 测出 A 与平面镜 M 的距离 l然后再在像 A 与凸透镜 L之间插 入凹透镜 L前
14、后移动 L, 当它与 A 的距离刚好等于待测透镜焦距时, 经 平面镜 M 反射回来的光束将在物面上成一最清晰的像 A 测出这时凹透 镜 L与平面镜 M 的距离 l,即得凹透镜焦距的大小为 思考题 f l l 2 6如本题图,一凸透镜将傍轴小物成 像于幕上。保持物和幕不动, () 将透镜稍微 沿横向平移(图 a), () 将透镜的光轴稍微转 动(图 b),讨论幕上像的移动。 答: () 将凸透镜作横向微小平移,则幕 上的像也向同方向平移,像的大小不变,清晰 度也不变。 设凸透镜横向移动距离为 y, 则 光 学 思 考 题 解 答 像的移动距离为 y V y, 其中 V 为像的横向放大率。 ()
15、将光轴作微小转动时,幕上的像不产生移动, 大小也不改变。 但由 于此时小物和幕都不再严格与光轴垂直, 像的清晰度有所下降, 且因放大 率不一致而稍有畸变。 思考题 2 7在镜筒前端装一凸透镜, 后端装一毛玻璃屏, 上面刻有十字 线,交点 O 在光轴上(见本题图)。筒 长为透镜的焦距 f 用此装置瞄准一 个很远的发光点, 使成像于屏上 O 点。 讨论在下列情况中像点在屏上的 移动:() 镜作横向平移,() 镜筒轴 线转过角度 答: 发光点在很远的地方,可视为无穷远, 入射到透镜上的光束为平 行光束, 若像点在 O 点(即焦点), 则表明入射光束平行于光轴。 () 当透镜作横向平移时,并未改变入射平行光的相对方向, 因此屏 上的像点不动,固定在 O 点。 () 当镜筒轴线转过 角时(见