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1、第六章 不定积分,两个方面,数学上很多方面都存在逆运算：,1、,加,减,乘,除,开方,乘方,求导,？,2、,实际问题：,相反的问题：已知瞬时速度V=V（t）求运动规律： 这就是求微商运算的反问题。,前面，已知质点的运动规律S=S（t） ，,求瞬间的速度,V=V（t），,只需将S=S（t）对t求微商就可以了。,第一节 不定积分的概念,一、原函数,定义 1,例1,问题一,存在性：,哪些函数一定存在原函数？,问题二,唯一性：,由定义，显然不唯一，,且有：若F（x）,为 f（x）的一个原函数，,则对任意常数C，,F（x）+C也是f（x）的一个原函数。,这也说明，,若f（x）存在一个原函数，,则其必有无
2、穷多个原函数。,问题三,若F（x）为f（x）的一个原函数，,F（x）+C 是否所有的原函数？,即：是否f（x）的每一个原函数都具有F（x）+C的形式？,回答：下面的定理：,定理6.1,若 F (x) 是 f (x) 在区间 I 内的一个原函数，则 F (x) +C 是 f (x) 的全体原函数，其中 C 是任意常数。,证明：Lagrange中值定理的推论。,根据原函数的这种结果，引入定义。,例2,这里没有注明x的变化范围， 通常都理解为使等式成立的x的全体。,不定积分不是一个函数，而是一族函数， 在几何上他是一族曲线，称为积分曲线， 只要画出其中的一条，其它曲线可通过平移而得到。,定义6.2,
3、f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分，记为,从而 ,若F (x)为f (x)在I上的一个原函数，则有, C为任意常数,二、不定积分的概念,注 意,由定义知：,或,或,1）求不定积分运算与微分（微商）运算是互逆的。,2）根据基本初等函数的导数公式表，可以得到基 本积分公式表：,三、基本积分公式表,注 意,强调,1、背熟,2、积分常数不能丢,四、不定积分的运算法则,微商运算法则,不定积分的运算法则,（线形运算法则）,1、,2、,证明：说明一下法则的体系（极限求导,定理6.2,例3.,求,解:,例4.,求,解:,例5.,求,解：,例6.,求,解：,前面给出
4、了基本积分表和分部积分的性质，但所能计算的积分非常有限，且不能总用定义求。,例：,第二节 换元积分法与分部积分法,一. 换元积分法,先看例子：,求,公式表中只有,比较两积分：凑一个因子2,一般情况：,（凑微分法或第一换元法）,设 具有原函数 , 即,可导, 记 ，则有,证明：与复合函数的微分法则对应,例：,定理6.3,求,解:,例1,求,解：,例3,例2,求,解:,例4.,求,解法2:,由例2得，,增加,例5,求,解法1：,由例3得,解法2：,增加,有些积分不能直接凑出微分.而是选择变量替换,（第二换元法）,设,可导，且,又设,则,证：,定理6.4,例9,求,（a0）,令,则,其中,例10,求
5、,解：设,则,于是,作辅助三角形 得到,因此：原式,其中,总结上面几例，我们利用三角公式， 对一些无理式作了如下代换：,，令,对于,，令,对于,，令,目的在于消去根号，因为它们比较典型， 故特别称之为三角代换。,对于,由乘积的微商公式：,故,这个公式称为分部积分公式。,或,关键：适当选取 和 ，使,容易求 。,2分部积分法,例13,选,幂函数与指数函数乘积的积分,总结：,幂函数与正（余）弦函数乘积的积分,例14,例15,总结：选,有时分部积分后会遇到原来的不定积分。注意加c,例17,求,解： 原式=,所以,例18,解：原式=,移项即得,求,例20,解：,下面求,两种方法,求,：,类似的,方法2
6、,从,出发分部积分,类似的,前面介绍了两种重要的积分方法，利用它们可以求出许多初等函数的不定积分。但是要灵活地运用这些方法，它不象求导数那样简单和易掌握。另外，任一初等函数总可按一定的步骤求得它的导函数，且导函数还是初等函数。而求初等函数的积分不仅无一定的步骤可循，更有所不同的是初等函数的原函数有可能不再是初等函数，这时我们也说积分积不出来。,总结：,一些特殊类型的函数的积分：,1. 有理函数的积分：,若,真分式之和。因此有理函数的 积分,只需讨论真分式的积分：,有理函数,不是真分式，,用多项式除法可将其写成一个多项式与一个,多项式的积分和有理真分式的积分,思路：把被积函数（真分式）分解为简单
7、分式的和。,两个多项式的商称为有理函数,即变量和常数经有限次四则运算得到的式子。,所以归纳为简单分式的积分：,都可以分解为有限个简单分式的和。,每个真分式,根据代数基本定理，,1、,简单分式有四种（两类）,（1）,（2）,（3）,（4）,其 中,代数基本定理:,代数基本定理Fundamental Theorem of Algebra是指： 对于复数域，每个次数不少于1的复系数多项式在 复数域中至少有一根。由此推出，一个n次复系数 多项式在复数域內有且只有n个根，重根按重数计 算。 因此，任意次数的实系数多项式在实数域都能够分解成 一次和二次因式的乘积,则有分解式：,下面逐个求不定积分：,（1）
8、,（2）,（3）要求,只需求,即可,下面求,（4）,只需求,即可.,其 中,而,解：设,，A，B，C是待定系数。,比较两端,同次幂的系数得线性方程组,解得：,例21,求,方法1:(比较系数法),下面介绍两种确定待定系数的方法。,在等式右边通分后,令等式两边的分子相等得,方法2：（取特殊值法）在等式两边同乘以,后令,，得,等式两边同乘以,后，令,得,令,得,将A，C的值代入，即得,于是,2. 三角函数有理式的积分：,变换 称为万能公式,例24. 求,解：,例26. 求,解法一：,解法二：,解法三：,利用万能公式,例27. 求,解：,此外，还可以利用其它技巧:,例29. 求,解法一：利用万能公式,
9、解法二：,3. 某些无理函数的积分：,（1）,例30. 求,解：,3. 某些无理函数的积分：,（2）,转化为三角函数有理式的积分,当 时，,例32. 求,解法一：,解法二：,习 题,例1. 求,解:,原式,例2. 求,解 :,原式,分部积分,例3. 求,解: 取,说明: 此法特别适用于,如下类型的积分:,例4. 求,解:,设,则,因,连续 ,得,得,利用,补充题,例1.,设,解:,为,的原函数,且,求,由题设,则,故,即, 因此,故,又,例2. 求,解: 令,则,原式,例3. 求,解: 令,比较同类项系数, 故, 原式,说明: 此技巧适用于形为,的积分.,例4.,求不定积分,解:,原式,作业,P163页：1.(1),(4),(5),(7),(16),(17),(18);2. P187页：1.(2),(3),(4),(6),(14),(15),(16),(29);2.(6),(7),(8),(9),(10),3;5;7.,
