《高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 第7讲 空间中角与距离的计算课件（理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 第7讲 空间中角与距离的计算课件（理）（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第7讲 空间中角与距离的计算,1.异面直线所成的角 过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b. 那么直线 a与 b所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所,(0，90,成的角，其范围是_.,(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成,的角等于 0.,90,(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于_. (3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条 斜线与平面所成的角，其范围是(0，90). 斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的 直线所成的一切角中最小的角.,2.直线与平面所成的角,从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二
2、面角.从 二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是,直角的二面角叫做_.,直二面角,4.点到平面的距离 点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距 离.求点到平面的距离通常运用等积法，即构造一个三棱锥，将 点到平面的距离转化为三棱锥的高. 5.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做 这条直线与平面的距离.,3.二面角,1.若a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为,平面的法向量的是(,),B,A.(0,1,2) B.(3,6,9) C.(1，2,3) D.(3,6,8) 解析：向量(1,2,
3、3)与向量(3,6,9)共线.,2.若直线 l，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面的法向,C,A.4 C.8,B.6 D.8,3.已知平面上的两个向量 a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面,的一个法向量为( ) A.(1，1,1) C.(2,1,1),B.(2，1,1) D.(1,1，1),C,4.如图871，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，,AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_. 图 8-7-1,考点 1,线面所成角的计算,例1：(2014年福建)在平面四边形 ABCD 中，ABBDCD 1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起， 使得平面 A
4、BD平面 BCD，如图 8-7-2. (1)求证：ABCD； (2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与,平面 MBC 所成角的正弦值.,图 8-7-2,(1)证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD BD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.,又 CD平面 BCD，ABCD.,(2)解：如图D55，过点B 在平面BCD 内作BEBD.,图 D55,由(1)知，AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD， ABBE，ABBD.,设平面 MBC 的法向量 n(x0，y0，z0)，,【规律方法】求直线与平面所成的角，大致有两种基本方,法：,传统立体几何的综合推理法：通过射影转
5、化法作出直线 与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影 的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得 到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于 已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面 的交线即为射影.,空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后 利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角. 从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似， 底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那 么创新的地方就是点 E 的位置的选择是一般的三等分点，用传 统的方法解决对于学生来说就比较有难度，因此最好使用空间 直角坐标
6、系解决该问题为好.,【互动探究】,1.(2011年大纲)如图873，四棱锥SABCD中， ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形.ABBC2，CDSD1. (1)证明：SD平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成角的正弦值.,图873,解法一：(1)如图D58，取AB中点E，连接DE，则四边形,图D58 又SD1，故ED2SE2SD2，所以DSE为直角. 由ABDE，ABSE，DESEE，得AB平面SDE， 所以ABSD. SD与两条相交直线AB、SE都垂直. 所以SD平面SAB.,解法二：以C为原点，射线CD为x轴的正半轴，射线CB为y轴正半轴，建立如图D59所示的空间直角坐标系Cxy
7、z. 图D59 设D(1,0,0)，则A(2,2,0)，B(0,2,0). 又设S(x，y，z)，则x0，y0，z0.,考点 2,面面所成角的计算,图 8-7-4,例2：(2014年湖南)如图874，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明：O1O底面ABCD； (2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值.,(1)证明：如图D56，因为四边形 ACC1A1 为矩形，,图D56,所以CC1AC.同理DD1BD. 因为CC1DD1，所以CC1BD. 而ACBDO，因此CC1底面ABCD. 由
8、题设知，O1OC1C.故O1O底面ABCD.,(2)解：方法一：如图D56，过O1作O1HOB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O底面ABCD， 所以O1O底面A1B1C1D1，于是O1OA1C1. 又因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等， 所以四边形A1B1C1D1是菱形，则A1C1B1D1. 从而A1C1平面BDD1B1，所以A1C1OB1. 于是OB1平面O1HC1，则OB1C1H. 故C1HO1是二面角C1OB1D的平面角. 不妨设AB2.,方法二：因为四棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，,所以四边形 ABCD 是菱形，因此 ACBD.,又 O1O底面
9、ABCD，从而 OB，OC，OO1 两两垂直. 如图 D57，以 O 为坐标原点，OB，OC，OO1 所在直线分别 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，不妨设 AB2.,图 D57,【规律方法】求二面角，大致有两种基本方法： (1)传统立体几何的综合推理法：定义法；垂面法；三垂线定理法；射影面积法.,(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小,【互动探究】,2.已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切
10、值等于_.,图 D60,难点突破,利用空间向量求空间距离,例题：如图 8-7-5，S 是ABC 所在平面外一点，ABBC 2a，ABC120，且 SA平面 ABC，SA3a，求点 A 到 平面 SBC 的距离.,图 8-7-5,解：方法一，如图8-7-6，作 ADBC 交 BC 延长线于 D，,连接 SD.,图 8-7-6,SA平面 ABC，SABC.,又 SAADA，BC平面 SAD.又 BC平面 SBC， 平面 SBC平面 SAD，且平面 SBC平面 SADSD.,过点A 作AHSD 于 H，由平面与平面垂直的性质定理可 知，AH平面 SBC. 于是 AH 即为点 A 到平面 SBC 的距
11、离.,方法二，设 A 到平面 SBC 的距离为 h，,在SBC 中，,方法三，如图8-7-7，以 A 为坐标原点，以AC，AS 所在直 线为 y 轴，z 轴，以过 A 点且垂直于 yOz 平面的直线为x 轴建 立空间直角坐标系.,图8-7-7,ABC 中，ABBC2a，ABC120，,【规律方法】求点到平面的距离通常有以下方法： (1)直接法，即直接确定点到平面的垂线，再求出点到垂足 的距离，即为所求； (2)间接法，包括等体积法和转化法； (3)向量法，即求出已知点与平面上一点连接线段在平面法 向量方向上的射影长，此射影长即为所求，点P 到平面的距,1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的 方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否 则向量夹角的补角是异面直线所成的角.,2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.,
