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1、1 第七章第七章 方差分析和卡方检验方差分析和卡方检验 方差分析是20世20年代费希尔提出的。是生产、教学、 科研中分析数据的一种常用方法。 数据分布的拟合度检验数据分布的拟合度检验 列联表及独立性检验列联表及独立性检验 单因素方差单因素方差分析（完全随机设计）分析（完全随机设计） 不考虑交互效应和协变量的方差分析不考虑交互效应和协变量的方差分析 双因素方差分析（随机区块设计）双因素方差分析（随机区块设计） 考虑交互效应不考虑协变量考虑交互效应不考虑协变量/ / / /考虑交互效应考虑协变量考虑交互效应考虑协变量 2 方差分析方差分析方差分析方差分析ANOVAANOVAANOVAANOVA 方
2、差分析（方差分析（analysis of varianceanalysis of variance，ANOVAANOVA） 在研究一个变量时，能够解决多个总体的均值在研究一个变量时，能够解决多个总体的均值 是否相等的检验问题；是否相等的检验问题； 在研究多个变量对不同总体的影响时，它也是在研究多个变量对不同总体的影响时，它也是 分析各个自变量对因变量影响的一种方法。分析各个自变量对因变量影响的一种方法。 3 第一节 方差分析 一、什么是方差分析 方差分析是通过分析数据的误差判断各总体均值 是否有差异 研究定性自变量对数值型因变量的影响 单因素方差分析和多因素方差分析 因变量（Dependent
3、）：主要研究变量 自变量：对因变量的影响因素或因子（Factor） 智商 动机 方法 学习成绩 日照 降水 肥力 农作物产量 4 策略 观察日策略一策略二策略三策略四策略五 1107968 2891098 3981067 4989710 5106976 水平均值9.27.69.477.8 总平均值2 . 8=x 不同促销策略销售情况（万元） 控制因素:简称因素,本例:策略： 处置或水平：因素的内容（5种） 因变量或观察变量:商品销量 影响观察变量的因素： 1) 控制因素 2) 随机因素 常用术语 5 方差分析的原理方差分析的原理方差分析的原理方差分析的原理 可知差异来自两个方面：可知差异来自两
4、个方面： 一方面是由不同促销方式的差异造成的，另一一方面是由不同促销方式的差异造成的，另一 方面是由于抽选样本的随机性而产生的差异，方面是由于抽选样本的随机性而产生的差异， 这两个方面产生的差异可以用两个方差来计量：这两个方面产生的差异可以用两个方差来计量： 一个称为组间方差一个称为组间方差 一个称为组内方差一个称为组内方差 水平之间的方差既包括系统性因素，也包括随水平之间的方差既包括系统性因素，也包括随 机性因素；机性因素； 水平内部方差仅包括随机性因素。水平内部方差仅包括随机性因素。 如果不同的水平（同一促销方式）对结果没有如果不同的水平（同一促销方式）对结果没有 影响，那么在水平之间的方
5、差中，就仅仅有随影响，那么在水平之间的方差中，就仅仅有随 机因素的差异，而没有系统性差异机因素的差异，而没有系统性差异 6 方差分析的原理方差分析的原理方差分析的原理方差分析的原理 反之，水平之间的方差就会大于水平内的方差，当这个比值反之，水平之间的方差就会大于水平内的方差，当这个比值 达到某个程度，或者说达到某临界点，就可做出判断，既不达到某个程度，或者说达到某临界点，就可做出判断，既不 同的水平之间存在着显著差异。同的水平之间存在着显著差异。 因此，方差分析就是通过不同均方差的比，做出拒绝原假设因此，方差分析就是通过不同均方差的比，做出拒绝原假设 或不能拒绝原假设的判断。或不能拒绝原假设的
6、判断。 组间平方和除以自由度组间平方和除以自由度(K-1)(K-1)，K K为组数为组数) )， 组内平方和除以自由度（组内平方和除以自由度（n-K)n-K)，n n为样本容量总数）为样本容量总数） 水平间的方差和水平内方差之比是一个统计量，这个统计量水平间的方差和水平内方差之比是一个统计量，这个统计量 服从服从F F分布：分布： 分布 方差组内水平内部 的方差组间水平之间 ), 1( )( )( knkFF= 7 02468 0.00.20.40.60.81.0 F(50,20) F(3,20) 自由度为（自由度为（3 3 3 3，20202020）和（）和（50505050，2020202
7、0）的）的F-F-F-F-分布密度曲线图分布密度曲线图。 8 方差分析的种类 单因素的方差分析 分析一个变量时 One-Way ANOVA 多因素的方差分析 Univariate 分析多个变量时，称为多元方差分析 Multivariate 9 不同的促销策略下的销售量明显有差异，： 是由于抽样的随机性？ 人们对促销方式的认可程度不同？ 10 系统误差：包括抽样的随机 误差和促销方式导致的误差 随机误差： 将总误差分 为两类误差 11 (两类方差) 数据的误差用离差平方和表示 总误差平方和SST（total sum squares）总误差/n-1就是总方差 总误差平方和SST分解为： 列间误差平
8、方和+列内误差平方和(SSC+SSE) Between column sum of squares + Within column mean squares SSC/k-1，SSE/n-k称均方差或方差 系统误差： 包括抽样的随机误差和促 销方式导致的误差 = 随机误差: 抽样随机性引起的误差 12 不同策略下的销售情况 13 方差的比较 如促销方式对销售量无影响，则组间方如促销方式对销售量无影响，则组间方 差无系统误差，只有随机误差，组间方差与组差无系统误差，只有随机误差，组间方差与组 间方差平均后应当接近，其比值很小间方差平均后应当接近，其比值很小 如促销方式对销售量有影响，则组间方差如促
9、销方式对销售量有影响，则组间方差 既有系统误差，又有随机误差，组间方差平均既有系统误差，又有随机误差，组间方差平均 后应大于组间方差平均后的数值，比值较大后应大于组间方差平均后的数值，比值较大 14 每种促销方式的销售量应当服从正态分布 每种促销方式的销售量的方差应当服相等 各种促销方式的销售量应当相互无关 方差分析的基本假定 15 单因素方差分析 16 方差分析的步骤： 1 提出假设 2 确定拒绝原假设的最小F值 3 计算样本统计量的F值 4 作出结论 17 原假设成立:每个样本来源于均值同一的正态总体 备择假设成立: 每个样本分别来源于均值相等的四个正态总体 至少有一个样本来源于均值不同的
10、正态总体 54321 = 54321 18 统计量的计算:需要计算水平的均值 19 计算全部观察值的均值 20 计算总误差平方和SST 21 计算列间误差平方和SSC SSC 计算列内误差项平方和SSE 各列均值与总均值的差异,反映因素的影响 列内观察值与列内均值的差异,反映随机的影响 22 三种平方和的关系和作用 SST:全部数据的误差 SSE:随机误差 SSC:系统误差+随机误差 原假设成立:两个均方误差差异不大,如列间均 方误差显著大于随机误差? 判断不同的处置方式是否对观测值有影响 比较两个误差均方的大小 23 MSC与MSE比值,称为F检验统计量 ), 1(KnK MSE MSC F= 24 作出统计决策 25 观察日策略一策略二策略三策略四策略五 1107968 2891098 3981067 4989710 5106976 9.27.69.477.8 =+= 222 )2 . 86()2 . 88()2 . 810(SST =+= 222 )2 . 88 . 7(*5)2 . 86 . 7(*5)2 . 82 . 9(*5SSC =+ += 22 2222 )8 . 76()8 . 78( )6 . 77()2 . 810()2 . 88()2 . 910( SSE 2 . 8=x
