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1、第二章第二章 光线的传播及高斯光束光线的传播及高斯光束 第二章第二章 光线的传播及高斯光束光线的传播及高斯光束 2.1光线传播光线传播 光线矩阵光线矩阵 透镜波导透镜波导 光线在反射镜间的传播光线在反射镜间的传播 光线在类透镜介质中的传播光线在类透镜介质中的传播 2.2光束传播光束传播 2.3高斯光束的变换高斯光束的变换 2.1光线的传播光线的传播 光线？光线？ 几个前提几个前提 几何光学意义上的光线几何光学意义上的光线0 近轴光线近似近轴光线近似 光学元件绕光轴旋转对称光学元件绕光轴旋转对称 均匀介质均匀介质 2.1光线的传播光线的传播 坐标系及方向的规定坐标系及方向的规定 光线在光轴上方，
2、光线在光轴上方，r0；反之，；反之，r00；反之，；反之，r r0时，类透镜介质对时，类透镜介质对 光线起汇聚作用，相当于正透镜。光线起汇聚作用，相当于正透镜。 2.1光线的传播光线的传播 (2)k20 当当k20时，光线微分方程的解可以表示为：时，光线微分方程的解可以表示为： 从方程可以得出结论，随着从方程可以得出结论，随着z的不断增加，的不断增加，r(z)不断增不断增 大，当大，当 ，因此，因此k20的类透镜介质对的类透镜介质对 光线具有发散性，类似于负透镜的作用。光线具有发散性，类似于负透镜的作用。 练习：证明练习：证明2-1-39式式 22 0 00 020 222 00 000 co
3、shsinh sinhcosh kkk r zz rz r kkk kkk rzz rz r kkk , ( )zr z 2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播 2.2.1类透镜介质中的波动方程类透镜介质中的波动方程 在各向同性、无电荷分布的介质中，在各向同性、无电荷分布的介质中，Maxwell方程组的微分形式为：方程组的微分形式为： (1) (2) 0(3) E H t H Eu t E 对对2式求旋度：式求旋度： 2 2 HE Euu tt 2 EEE 且由且由3式：式： 1 0EEEEE 在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即在各向同性介质中
4、有介电常数不随位置而发生变化，即 0 2 2 2 (4) E uE t 综合上三式可以得到综合上三式可以得到 假设折射率假设折射率n的空间变化很小，即的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为： 0 ( , , , )Re( , , ) i t E x y z tE x y z e 代入代入(4)式式 22 00 22 ( )0 ( )( ) Ek r E k rur 波动方程波动方程 也称亥姆也称亥姆 霍兹方程霍兹方程 2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播 当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上
5、式最后一项可以表示为：当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为： 2 2 ( ) ( )( ) 1 r k ruri 当当 代表吸收介质，代表吸收介质， 代表增益介质代表增益介质 00 上式表示复数波数，我们考虑波数表示形式为上式表示复数波数，我们考虑波数表示形式为 22 2 002 ( )k rkk k r 其中其中k0、k2都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特和介质的特 性性k2都有关系。由波数的定义：都有关系。由波数的定义： 可以得到可以得到n(r)的表达式：的表达式： 2 ( )( )k rn r 2
6、222 0020 0 ( )( )1 222 k n rk rkk k rkr k 的情况的情况 该表达式就是类透镜介质该表达式就是类透镜介质 的折射率表达式，证明我的折射率表达式，证明我 们考虑的们考虑的k(r)表达式代表表达式代表 的正是在类透镜介质中的的正是在类透镜介质中的 情况。情况。 22 22 00 00 11 222 kk krnr kk 级数级数 展开展开 2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播 下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种近似下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种近似 平面波，即能量
7、集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场的横向分平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场的横向分 布只与布只与 有关，因此波动方程中的算符有关，因此波动方程中的算符 可以表示为：可以表示为： 我们假设我们假设 ，其中，其中a为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说明为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说明 衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平面波的衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平面波的 表达式为：表达式为： 其中其中e-ikz表示波数为表示波数为k的严格平面波，为了研的严格平面波，为了研 究修正平面波，我们引入了修正因
8、子究修正平面波，我们引入了修正因子 ，它包含了相位和振幅修，它包含了相位和振幅修 正两部分。正两部分。 该修正因子满足慢变近似：该修正因子满足慢变近似： 将这些相关假设带入波动方将这些相关假设带入波动方 程可以得到：程可以得到： 令修正因子取以下形式：令修正因子取以下形式： 22 rxy 2 222 2 2 2 22 1 r zrr rz 2 ( , , ) ikz Ex y z e ( , , )x y z 2 , “kk 2 2 2 20ikkkr 2 0exp ( ) 2 ( ) k Ei p zr q z 为什么取这种形式？这是对波动方程为什么取这种形式？这是对波动方程 进行长期研究得
9、到的解，既满足方程，进行长期研究得到的解，既满足方程， 又有明确的、能够被实验证实的物理又有明确的、能够被实验证实的物理 意义。意义。 2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播 通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到： 该方程对不同该方程对不同r都成立，因此都成立，因此r的各次项系数应该为零，整理得到：的各次项系数应该为零，整理得到： 该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。 2 2222 2 1 220 ( )( )( ) kk rik rkpkk r q z
10、q zq z 2 2 2 0 11 0 ( )( ) ( ) ( ) k r q zq zk i p zr q z 项系数 项系数 2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播 2.2.2均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2=0时的类透镜介时的类透镜介 质，此时简化波动方程为：质，此时简化波动方程为： 引入一中间函数引入一中间函数S，使，使 代入上式得到代入上式得到 得出得出 该微分方程的解为该微分方程的解为 ，a、b为复常数为复常数 则则 由由p与与q的关系得到的关系得
11、到 C1不影响振幅和相位的分布，因此可以设不影响振幅和相位的分布，因此可以设C1=0。 2 11 0 qq 1( ) ( )( ) S z q zS z 22 2 “( ) 0 SS SS SS “0S Sazb 1 ( ) a q zazb 0 b qzzq a 0 ii p qzq 1 0 ln 1 z piC q 2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播 将上述结果代入到将上述结果代入到 的表达式中有：的表达式中有： 满足该表达式的满足该表达式的q0有很多形式，但对其研究发现纯虚数形式的有很多形式，但对其研究发现纯虚数形式的q0可以可以 得到有物理意义的
12、波，因此假设得到有物理意义的波，因此假设q0具有如下表达形式：具有如下表达形式： 将将q0的表达式带入（的表达式带入（1）式中，其指数的两项可以分别表示为：）式中，其指数的两项可以分别表示为： 2 0 00 expln 1(1) 2() zK Eiir qqz 2 0 0 2 ,qi k 1 222 2 00 0 222 22 222 00 0 0 1 expln 1exptan 1 (/) expexp 2()1 (/)21 (/) zz ii z krrikr qzzzz 2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播 人为定义以下参数：人为定义以下参数： 22
13、 222 0 0 2 2 00 2 2 2 00 2 11 2 00 2 0 0 ( )11 ( )11 ( )tantan zz z z z R zzz zz zz z z z 将上述参数带入到光场的表达式，将上述参数带入到光场的表达式， 整理可以得到光场的表达式：整理可以得到光场的表达式： 2 0 0 0 2 0 2 2 2 0 0 2 ( , , ) ( , , ) exp( ) ( )2 ( ) 1 exp( ) ( )( )2 ( ) expexp( ) ( )( )2 ( ) ikz E x y z x y z e kr Ei kzzi zq z ik Ei kzzr zzR z rkr Ei kzz zzR z
