数学证明的作用

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1、思想 方法 技巧 数 学 证 明 的 作 用 陕西师范大学 罗增儒 本文通过解题分析来说明数学证明的作 用,反过来,又通过数学证明作用的提炼过程 来说明解题分析的作用.首先看一组例题. 一、 解题案例 例1 已知2 x = 5 y = 10,求证 1 x + 1 y = 1. 证明:由2 x = 1010 1 x= 2, 5 y = 1010 1 y= 5. 相乘 10 1 x10 1 y= 25, 即 10 1 x + 1 y= 10. 得 1 x + 1 y = 1. 例2已知3 x = 4 y = 36,求证 2 x + 1 y = 1. 证明:由3 x = 3636 2 x= 9, 4

2、 y = 3636 1 y= 4. 相乘 36 2 x36 1 y= 94, 即 36 2 x + 1 y= 36. 同底比较,得 2 x + 1 y = 1. 例3 已知17 x = 117 y = 100,求证 1 x - 1 y = 1 2 . 证明:由17 x = 100100 1 x= 17, 117 y = 100100 - 1 y= 10 17. 相乘 100 1 x100 - 1 y= 17 10 17 , 即 100 1 x - 1 y= 10 = 100 1 2. 同底比较,得 1 x - 1 y = 1 2 . 二、 解题分析 这可以称为题组训练(或一题多解 ) , 具有

3、 强化题型作用.日后遇到类似问题,可以通过 辨认,提取出同样的方法来解决(模式识别 ) . 比如遇到1993年高考第(16)题,也许能顺利 完成: 例4 设a , b , c都是正数,且3 a = 4 b = 6 c ,那么 A. 1 c = 1 a + 1 b B. 2 c = 2 a + 1 b C. 1 c = 2 a + 2 b D. 2 c = 1 a + 2 b 解:由3 a = 6c3 = 6 c a, 4 b = 6c2 = 6 c 2b. 相乘 6 c a6 c 2b= 32, 即 6 c a + c 2b= 6. 同底比较,得 c a + c 2b = 1, 即 2 c =

4、 2 a + 1 b ,应选B. 应该说,能完成这道高考题已经从例1、 例 2、 例3中获得了某些理解,否则,就不会将 4 b = 6 c , 变为 2 = 6 c 2b. 但是,这些理解还比较朦胧.可能另一些学生, 做过例1、 例2、 例3后仍不会做高考题.因为 他们没有从所做的例题中分析出本质性的方 法.我们以例1为例来作解题分析. 11 解题中进行了哪些步骤?为什么要进 行这样的步骤? 对比题目的条件与结论,我们看到3个差 异: (1)条件是指数形式,结论是分式形式; (3)条件有两个等式,结论是一个等式; (3)条件有数字2、5、10,结论都隐去了. 52中学数学教学参考 2001年第

5、5期 解题的过程是保留相同成分(等式,字母 x、y) ,消除差异的过程,可以分解为3个步骤. 第1步:由结论式中有 1 x 、 1 y 知,应对条件 式作变形,因而进行第一步运算: 2 x = 10, 5 y = 10 10 1 x= 2, 10 1 y= 5. 这就出现了 1 x 、 1 y ,具有消除差异(1)的作 用. 第2步:由结论式有 1 x + 1 y 知,应对两式 相乘,因而进行第二步运算: 10 1 x10 1 y= 25, 即 10 1 x + 1 y= 10. 这就将已知条件的两个等式合并了起来, 并出现 1 x + 1 y ,具有消除差异(2)的作用. 第3步:同底比较,

6、得 1 x + 1 y = 1. 这就隐去了数字2、5、10,并得出结论. 在这三步当中,最本质的是同底比较.回 过头来看例2中把3 x = 36,变为 36 2 x= 9,正 是为了使94 = 36,保证同底;例3中把10变 为100 1 2也是为了保证同底;例4中把4b= 6c 变为2 = 6 c 2b还是为了保证同底.有了同底等式 10 1 x + 1 y= 10, 可得 1 x + 1 y = 1. 而即使改变数据 10 m x + n y= 10, 也可得出 m x + n y =. 并且,只要保持底数相同,其具体数据到 底是2与5、9与4都是非实质的,由此,我们 立即可以作出推广.

7、 21 能进行哪些推广?为什么能进行这样 的推广? (1)底数推广 在例1中,将数字2一般化为字母a ,将数 字5一般化为字母b ,那么数字10应一般化为 ab ,得 命题1 设a 0, b 0,若ax=by=ab 1,则 1 x + 1 y = 1. (2)指数推广 在同底比较中, ab并非只能取指数为1, 也可以为( ab) z ,因而得 命题2 设a 0, b 0,若ax=by= ( ab) z 1,则 1 x + 1 y = 1 z . 在命题1中将x看成 x m ,将y看成 y n ,应 不影响同底比较,这实质上是把a看成 m a ,把 b看成 n b ,此时应有 a x m=b y

8、 n=ab m x + n y = 1. 为了使表达式好看一点,我们把 m a看成一 个字母A ,则a变为A m ,于是得 命题3 设a 0, b 0,若ax=by=ambn 1,则 m x + n y = 1. 这时命题3自动包含了命题2. 31 个数推广 由于例1证明中第一、 二步均与等式的个 数无关,我们立即可以把上述各命题从两个字 母推广到多个字母. 命题4 设ai 0,若a1 x1 =a2 x2 = anxn=a1 m1 a2 m2 anmn1,则 m1 x1 + m2 x2 + mn xn = 1. 证明:由已知aixi=a1 m1 a2 m2 anmn,得 aimi= ( a 1

9、 m1 a2 m2 anmn) mi xi. 相乘 a1 m1 a2 m2 anmn = ( a 1 m1 a2 m2 anmn) m1 x1 + mn xn. 同底比较,得 m1 x1 + m2 x2 + mn xn = 1. 这恰好是我们对具体例子中分析出来的 三个步骤. 62中学数学教学参考 2001年第5期 三、 由解题分析看数学证明的作用 解题分析是对3个具体例子的再认识,而 提炼 “证明的作用” 又是对上述 “认识、 再认识” 的再认识.这是一个自我反思、 自我调控的过 程,如此层层深入的认识,正是学会解题、 学会 学习的一个好途径.由上面的分析可以看到, 数学证明有3个主要作用:

10、 11 核实.就是说,数学证明有助于核实真 理.当我们证明了上述各例时,就确信各例均 为真命题.这是证明的第一个作用,但不是惟 一的,甚至还不是最重要的. 21理解.就是说,数学证明有助于增进理 解.我们只有弄懂了一个命题的证明,才能真正 理解该命题的内容.这是证明的第二个作用. 正是通过证明,我们才理解2 x = 10、5 y = 10怎样与 1 x + 1 y = 1联系起来的.它们原先在 数值、 运算、 结构方式上都很不相同,内在联系 更被外在形式深深掩盖着,如果不加以亲自动 手的证明,我们既无法理解它们之间的联系, 更难以记忆与运用.硬着头皮背熟了,也只是 被动的机械学习. 31 发现

11、.就是说,数学证明有助于获得新 的体验,发现新的结论.这是证明的第三个作 用. 我们在几个结构类似的例子证明中,发现 其对数字的依赖是非实质的,对数字的指数的 依赖也是非实质的,对数字的个数的依赖还是 非实质的,因而推广出新的命题.当然,这点 “发现” 对于数学科学来说是微不足道的,但对 数学学习来说,却是既有价值,又很珍贵的. 数学家戴维斯与赫什在合著 数学经验 一书中说过:在最好的情况下,证明通过揭示 事物的核心而增强理解,证明提供新的数学. 初学证明的人变得更加接近新数学的创造.证 明是数学的力量,是这门学科用来赋予定理的 静态断言以活力的电压. 值得注意的是,在日常教学中,常常更关 心

12、证明的第一个作用,而使第二、 第三个作用 流于自发状况.事实上,如果证明仅仅是为了 说服人接受一个结论的话,那么,凭个人的经 验加以说明,引用权威的语录,能举出例子,举 不出反例,结论有用等都可以达到目的.但是, 这一切都谈不上是数学的证明.证明是数学的 特征,我们的数学教学要全面关注数学证明的 三个作用. 以上,我们从几个具体例子的一种证明方 法谈了认识.但是,一题多解是普遍存在的,它 对于 “核实” 来说并非必要,而对于增进理解却 非常有益,并且提供了新发现的空间.我们将 把新的机会、 新的希望留给读者. 四、 留一个巩固性的练习 这组练习由4个问题组成. 问题1 3个正整数中,必有2个正

13、整数 之和能被2整除. 问题2 5个正整数中,必有3个正整数 之和能被3整除. 这两个题目相信读者都能给出证明,“核 实” 是不成问题的.但是理解了吗?获得新启 示了吗?文1沉重透露:在数学教师培训班 中,对下面的问题3“几乎无人能解出”,而华东 版初一新教材中就有这方面的内容. 问题3 任给11个正整数,必有6个数之 和能被6整除. 正是 “几乎无人能解出” 的吸引,华东师大 一位在职博士 “不禁也动手试试”,结果并非想 象的那样,因而写了篇文章(参见文2) ,并提 出:这道题还有更简洁的解法吗?能推广到一 般情况吗?这些发问的实质是,对问题有更深 刻的理解吗?能从本质理解中获得新发现吗? 推广是存在的,文3 ( P.87)叙述为 问题4 任给2n- 1个正整数,必能从中 选出n个,使它们的和能被n整除. 能够独立证明问题4,可以认为已从问题1、 2、3中全面得到 “核实、 理解、 发现” 的三大收获. 参考文献 1 杨灿荣.论中学数学教师的能力素质.数学教育学 报,2000,4 2 程龙海.从一次解题经历谈起.中学数学杂志(高 中 ) , 2001,1 3 罗增儒.数学竞赛引论.西安:陕西师范大学出版 社,2000 72中学数学教学参考 2001年第5期