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1、1/18 绪 论绪 论 ? ? ? ? 微分方程与数学模型微分方程与数学模型 泰勒级数与付里叶级数泰勒级数与付里叶级数 一阶常微分方程求解一阶常微分方程求解 二阶常微分方程求解二阶常微分方程求解 2/18 塔科马海峡大桥(位于美国华盛顿 州)曾经是世界上第三长的悬索桥. 塔科马海峡大桥(位于美国华盛顿 州)曾经是世界上第三长的悬索桥. 第一座大桥全长第一座大桥全长1524米米,绰号舞动 的格蒂 绰号舞动 的格蒂,1940年年7月月1日通车日通车,四个 月后戏剧性地被微风摧毁. 四个 月后戏剧性地被微风摧毁. 使得使得空气动力学空气动力学和和共振实验共振实验 成为建筑工程学的必修课。成为建筑工程
2、学的必修课。 重建的大桥于重建的大桥于1950年通车年通车, 2007年新的平行桥通车.年新的平行桥通车. 以后所有的桥梁,无论是整体 还是局部,都必须通过严格的 以后所有的桥梁,无论是整体 还是局部,都必须通过严格的 数学分析数学分析和和风洞测试风洞测试. 3/18 0 v 抛射体抛射体的数学模型的数学模型 = = = = 2 0 0 2 1 sin cos gttvy tvx 参数方程参数方程 伽里略模型伽里略模型 = = = = = = = = sin cos 0 0 0 0 v dt dy v dt dx t t = = = = g dt yd dt xd 2 2 2 2 0 初始条件
3、:初始条件: 微分方程微分方程 = = = = 0 0 y x 微分方程微分方程包含包含自变量自变量、未知函数未知函数以及未知函数 的 以及未知函数 的导数导数组成的等式组成的等式 4/18 简谐振动简谐振动的数学模型的数学模型 牛顿第二定律牛顿第二定律: F = m a a加速度加速度;F合外力合外力;m物体质量物体质量 虎克定律虎克定律: F= k u(t) F弹力弹力;k弹性系数弹性系数; u(t)弹簧伸长弹簧伸长 )( 2 2 tku dt ud m= = m a = k u(t) ? 0)( 2 2 2 =+=+tu dt ud mk / 2 = = ( ) )()()()( 2 2
4、 tftutq dt du tp dt ud =+=+ u O ? 一般形式一般形式 5/18 单摆单摆的数学模型的数学模型 sin 2 2 a dt d = = ( a = g/L ) 0 0 = = = =t dt d L sin 2 2 g dt d L= = 0 0 = = = =t 角位移角位移 角速度角速度 如何解出角位移？如何解出角位移？ 思考与讨论:思考与讨论: 1. 单摆和钟摆是相同的物理现象吗单摆和钟摆是相同的物理现象吗? 2. 二阶微分方程的建立与哪些物理定律有关二阶微分方程的建立与哪些物理定律有关? 6/18 一阶导数一阶导数: x u x u 或 二元函数 或 二元函
5、数: u = u(x, t ) t u t u 或 或 x txutxxu txu x x + = + = ),(),( lim),( 0 (切线斜率切线斜率) t txuttxu txu t t + = + = ),(),( lim),( 0 (速度速度) xx u ( 加速度加速度) 2 2 x u 或 或 tt u 2 2 t u 或 或 (曲率？曲率？) 二阶导数二阶导数: 7/18 泰勒级数泰勒级数: 设设 f(x) 在点在点 x = 0 处任意阶可微处任意阶可微 = = = = 0 )( n n n xCxf )0( ! 1 )(n n f n C = =), 1 , 0(L= =
6、n = + + = = + + = 0 12 )!12( )1(sin m m m m x x 120/6/ 53 xxx+=+= L+!7/ 7 x = = = = 0 2 )!2( )1(cos m m m m x x = = = = 0 ! 1 )exp( m m x m x LL 8/18 付里叶级数付里叶级数: 设设 f(x) 在区间连续在区间连续, = += = += 1 0 sincos 2 )( n nn nxbnxa a xf = = = = dxnxxfb nxdxxfa n n sin)( 1 cos)( 1 = = 1,0,0 1,01 )( t t tf ， 01 t
7、 f(t) 设设 f(t) 在区间在区间 0 , 1 上连续上连续 9/18 奇延拓奇延拓 = = 1, 0),( )0, 1),( )( ttf ttf tF = = 0 1 0 sin)(2sin)( 2 tdtntfnxdx x Fbn 1)1( 2 cos 21 0 = n n tn n )12( 4 k = = = = 1 sin)( n n tnbtf )(tx = = 1 1 方波可分解为方波可分解为奇谐波奇谐波的叠加的叠加 思考与讨论:思考与讨论: 泰勒级数与付里叶级数在使用时各有何优势与缺陷泰勒级数与付里叶级数在使用时各有何优势与缺陷? 10/18 一阶常微分方程一阶常微分方
8、程分离变量法分离变量法 人口增长模型人口增长模型I (马尔萨斯马尔萨斯), yr dx dy = = 00 )(yty= = ? )(exp)( 00 xxryxy = = 人口增长模型人口增长模型II (逻辑斯蒂逻辑斯蒂),/1(Kyyr dx dy = , )/1( dxr Kyy dy = ? = ? ? ? ? ? dxr y dy = =Cxry+ += =ln? )exp(1 )( Crx K xy + = + = 11/18 )(xfpyy= =+ + 线性常系数一阶非齐次方程线性常系数一阶非齐次方程 求解公式求解公式 )()exp()exp()(Cdxxfpxpxxy+=+=
9、+=+=dxxfpxpxpxCxy)()exp()exp()exp()(? 思考与讨论:思考与讨论: )exp(px 1. 函数在求解非齐次方程过程中扮演 什么角色 函数在求解非齐次方程过程中扮演 什么角色? )(exp),(xspsxE = = += += x dssfsxEyxExy 0 0 )(),()0 ,()( 2. 令解释下面公式令解释下面公式 12/18 二阶常系数齐次线性常微分方程二阶常系数齐次线性常微分方程 0= =+ + + + qyypy 0 2 =+=+qpmm 辅助方程辅助方程 21 mm xmxm eCeCy 21 21 +=+=? 两相异实根两相异实根 mmm=
10、= = 21 mx exCCy)( 21 +=+= ?两相等实根两相等实根 两共轭复根两共轭复根 im = = 2 , 1 ? )sincos( 21 xCxCey x +=+= 13/18 0)( 2 2 2 =+=+tu dt ud 例例1一维谐振子一维谐振子 u O 0 22 =+=+ m求解辅助方程求解辅助方程 im = = 2, 1 ttu cos)( 1 = =方程基本解方程基本解 2 2 2 1 CCA+=+= 1 C 2 C ttu sin)( 2 = = tCtCtu sincos)( 21 + += =通解通解: ttu cos2)(= = 2)0(= =u 特解特解: 0
11、)0(= = u 初始条件初始条件: 14/18 例例2求解欧拉方程求解欧拉方程 = =+ = = =+ = 0, 0 0)( 1 22 exx yy ynyxyx ), 1(ex 解解: 做变换做变换)1 , 0( t)exp(tx = =xtln= = dt dy xdx dt dt dy dx dy1 = )( 1 )( 11 2 2 222 2 dt dy dx yd xdt dy dx d xdt dy xdx yd =+=+= 0)( 2 2 2 =+=+yn dt yd 代入微分方程代入微分方程,得得 tnCtnCy sincos 21 + += = )lnsin()lncos(
12、 21 xnCxnCy + += = 15/18 例例3切比雪夫方程切比雪夫方程 = =+ = = =+ = 0, 1 02)1( 00 22 xx yy yyxyx)1 , 1( x = = = = 0k k k xay 代入微分方程代入微分方程,得 = = + + 得 = = + + 20 2 )1()1)(2( k k k k k k xakkxakk 04 01 =+ = = =+ = =k k k k k k xaxka 0)36()42( 1302 解解: 设解为幂级数设解为幂级数 = = + + + +xaaaa = = = = 1 1 k k k xkay = = = = 2
13、2 )1( k k k xakky = + += = + += 0 2 )1)(2( k k k xakk k kkk k k xakaakkakk4)1()1)(2( 2 2 + = + + = + 16/18 0 2 1 13 =aa22 02 = = = =aa 0)4()1)(2( 2 2 =+ + =+ +kk akakk? kk a k k a 1 2 2 + = + + = + ), 4 , 3(, 0L= = =kak 12)( 2 =xxy ?2阶切比雪夫多项式阶切比雪夫多项式 初始条件初始条件: 0)0(, 1)0(= = = =yy 切比雪夫方程切比雪夫方程(n=2) : 0)1( 22 =+ =+ ynyxyx 17/18 0)( 2 2 2 =+=+tu dt ud 谐振动谐振动 /2= =T 周期周期 tusin 1 = = ttusin)05. 0exp( 2 = = )sin(sin 1 0 2 0 3 tt p u + =+ = )1(= = )05. 0(= = 小阻尼振动小阻尼振动 0)(2 2 2 2 =+=+
