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1、第 5 章 贝塞尔函数 在第 2 章中,我们应用分离变量法解决了一些常见的定解问题.在考虑圆盘在稳恒状态下 温度的分布时,我们采用了极坐标系,经过分离变量得到了变系数的常微分方程欧拉方程. 若我们考虑圆盘在瞬时状态下的温度分布,则得到的是一种特殊类型的常微分方程贝塞尔 方程.也就是说,在应用分离变量法求解不同的数学物理方程时,会导出不同形式的常微分方 程边值问题.而其中一部分常微分方程的解,一般情况下不能用初等函数表示,这样就引如了 “特殊函数”. 本章首先在柱坐标系下对偏微分方程进行变量的分离,导出贝塞尔方程;然后讨论了这 个方程的解法及解的有关性质,并引入贝塞尔函数;最后在来介绍贝塞尔函数
2、在解决数学物 理方程中的有关定解问题中的一些应用. 5.1 贝塞尔方程及求解 对于圆柱形区域内的定解问题,常把泛定方程在柱坐标系下给出,这时区域的边界表示 起来将非常简洁,有利于解题. 考虑圆柱的冷却问题:设有一根两端无限长的圆柱体,半径为R，已知初始温度为 ),(yx,表面温度为零,求圆柱体内部温度的变化规律. 以u表示圆体内部的温度,由于初始温度不依赖于z,因此在z轴方向没有热量的流动, 问题归结为二维定解问题 = = = + = V y V x V Ta tT 于是我们得到 0)()( 2 =+tTatT (5.1.5) 0 2 2 2 2 =+ + V y V x V (5.1.6)
3、式(5.1.5)是一阶线性常微分方程,其解为 ta AetT 2 )( = 式(5.1.6)称为亥姆霍兹方程. 由边界条件(5.1.2),可知 0)(),( 222 = =+ tTyxV Ryx 所以 0 222 = =+Ryx V (5.1.7) 由于 222 ),(:,),(RyxyxDDyx+,所以应用极坐标系,则式(5.1.6)及边界 条件(5.1.7)化为 = =+ + + = )9 . 1 . 5(0 )8 . 1 . 5(0 11 2 2 22 2 Rr V V V rr V rr V 令)()(),(=rFrV,代入式(5.1.8),有 0)()()()( 1 )()( 1 )
4、()( 2 =+ + rFrF r rF r rF 分离变量,有 = + = )( )()()( )( )( 22 rF rFrrFrrFr 于是我们得到了两个常微分方程 0)()(=+ (5.1.10) 0)()()()( 22 =+ rFrrFrrFr (5.1.11) 由于),(zyxu是单值函数,),(yxV必也是单值函数,因此)(应该是以2为周期的 周期函数.在第 2 章,我们已经讨论了问题 =+ =+ )()2( 0)()( 并求得了其固有值为 ), 2 , 1 , 0( 2 L=nn n 则式(5.1.10)的解为 00 2 1 )(a= ), 2 , 1 , 0(sincos)
5、(L=+=nnbna nnn 将 2 n n =代入(5.1.11) 0)()()()( 222 =+ rFnrrFrrFr (5.1.12) 称式(5.1.12)为n阶贝塞尔方程. 由实际问题可知,温度),(zyxu是有限的,及边界条件式(5.1.9),可得 +x时的图 像;0x时的图像可以分别根据)( 0 xJ和)( 1 xJ的对称性得到.由(5.1.21)可知, )( 0 xJ 是偶函数, )( 1 xJ是奇函数.从图5-1中可以看出, )( 0 xJ和)( 1 xJ都有无穷多个实数零 点,两者的零点彼此相间分布. 可以证明: (1)(xJn有无穷多个单重实零点,且这无穷多个零点在x轴上
6、关于原点是对称分 布的,因而)(xJn必有无穷多个正的零点. (2) )(xJn的零点与)( 1 xJn+的零点是彼此相间分布的,即)(xJn的任意两个相邻 零点之间必存在一个且仅存在一个)( 1 xJn+的零点. (3)以 )(n m 表示)(xJn的正零点), 2 , 1(L=m,当0m时 )()( 1 n m n m + ,无限趋近 于,即)(xJn是近似以2为周期的函数. 为了便于工程技术上的应用,贝塞尔函数正零点的数值已被详细计算出来,并制成 表 格 以 供 查 阅 . 图5-2给 出 了)(xJn)5, 2 , 1 , 0(L=n的 前9个 正 零 点 )(n m )9, 2 ,
7、1(L=m的近似值. 图 52 5.3 按贝塞尔函数展开级数 应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题,最终都要把已知的函数按贝塞尔 方程的固有函数系展开为级数.本节,我们就一般意义下的问题作一个简单的推演,说明 贝塞尔方程固有函数系的特点,并介绍一些解具体问题的方法. 考虑 = + + =+ = )3 . 3 . 5(0 d d )2 . 3 . 5()0( ) 1 . 3 . 5(0)()()()( 222 Rr F r F F rFnrrFrrFr 式中,是待定参数;n是固定的非负整数; ,是不同时为零的非负实数. 由式(5.1.19)可得式(5.3.1)的通解为 )()()(rBYrA
8、JrF nn += 由= )(lim 0 rYn r 及式(5.3.2),易得0=B. 这样,式(5.3.1)在有界性条件式(5.3.2) 下的通解为 ()rAJrF n =)( (5.3.4) 式中由条件式(5.3.3)所确定,即是方程 0)()(=+RJRJ nn (5.3.5) 34.98933.537 32.06530.569 29.047 27.493 9 31.81230.371 28.90827.421 25.90424.352 8 28.62727.199 25.74824.270 22.76021.212 7 25.43024.019 22.58321.11719.616 1
9、8.071 6 22.21820.827 19.40917.96016.47114.931 5 18.98017.616 16.22314.79613.324 11.792 4 15.70014.373 13.01511.620 10.173 8.654 3 12.33911.065 9.761 8.417 7.016 5.520 2 8.771 7.588 6.380 5.136 3.832 2.405 1 )(n m n m 0 1 234 5 的根.可证明这样的根有无穷多个,且全是单根.用), 2 , 1(L=iki表示正根,由小到大 排列成 L 21 0kk 则固有值为 ), 2 ,
10、1( 2 L=iki i 相应的固有函数为), 2 , 1()(L=irkJ in . 下面,我们讨论固有函数系)(rkJ in 在区间Rr 0上的正交性. 为了形式上的简明,我们将式(5.3.1)化为 0 d d d d1 2 2 = + F r n r F r rr (5.3.6) 则)(),(rkJFrkJF jnjini =是式(5.3.6)的两个解.分别以 ij rFrF ,乘 i F和 j F所满足 的式(5.3.6),有 0)( d d 2 2 2 = + jiiij FrF r n kFr r F 0)( d d 2 2 2 = + ijjji FrF r n kFr r F
11、两式相减,在, 0R上做定积分,得 R ijji R ijji R jiji FFFFrrFr r FFr r FrFrFkk 0 00 22 )(d)( d d )( d d (d)(= = 由实际问题可知,F及F在0=r有界,则 )()()()(d)( 0 22 RFRFRFRFRrFrFkk ijji R jiji = 由边界条件式(5.3.3)可得 =+ =+ 0)()( 0)()( RFRF RFRF jj ii (5.3.7) 因为,不同时为零,即关于,的方程组(5.3.7)有非零解,所以式(5.3.7)的系数 矩阵的行列式为零,即 0)()()()( )()( )()( = RF
12、RFRFRF RFRF RFRF jiij jj ii 所以 0d)( 0 22 = R jiji rFrFkk 因为ji 时, ji kk ,所以有 0d 0 = R ji rFrF 即 0d )()( 0 = rrkJrkrJ R jnin 这表明,固有函数系)(rkJ in 在区间Rr 0上关于权函数r正交. 当ji =时,我们需要计算积分rrF R i d 0 2 的值.以 i Fr 2 乘 i F满足的式(5.3.6),有 0()( d d 22 =+ iiiii FFnrkFr r Fr 在区间, 0R上对r积分,有 0d)()( 2 1 0 222 0 2 =+ rFFnrkFr
13、 ii R i R i 分部积分,得 0d)( 2 1 )( 2 2 0 2 0 22222 2 =+ rFrkFnrkRF R i R i R iii 令 = R in R ii rrkrJrrFN 0 2 0 2 d)(d 有 )8 . 3 . 5()()1 ()( 2 )()()( 2 1 2 22 2 2 2 222222 2 += += RkJ kR n RkJ R RFnRkRFR k N in i in iii i i 于是我们得到如下结论. 定理定理 固有函数系)(rkJ in 在区间Rr 0上关于权函数r正交,即 = = jiN ji rrkJrkrJ R jnin , ,
14、0 d)()( 0 式中, i N称为)(rkJ in 的模方. 为了应用上的方便,针对不同类型的边界条件,我们给出模方 i N的具体形式 (1)第一类边界条件 此时00=，,所以 i k是方程 0)(=kRJn 的第i个零点,由递推公式 1+ = nnn JJ x n J 可得 ), 2 , 1()( 2 )( 2 2 1 2 2 1 2 L= + iRkJ R RkJ R N inini (5.3.9) (2)第二类边界条件 此时0, 0=,所以 i k是方程 0)(=RkJ in 的第i个零点,这样有 ), 2 , 1()()1 ( 2 2 22 22 L=iRkJ Rk nR N in i i (5.3.10) (3)第三类边界条件 此时 i k, 0是方程 0)()(=+RkJRkJk inini 的第i个零点,所以有 )()(RkJ k RkJ in i in = 即得 ), 2 , 1()(1 2 2 22 2 2 22 L= +=iRkJ Rk m k R N in ii i (5.3.11) 在应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题时,往往需要
