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1、第 4 章 格林函数 在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法格林函数法.从物理上看, 一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导 方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源 被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同 样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就 叫做格林函数. 4.1 函数 几何学中的点是没有大小的,它仅仅表示空间的一个位置,因此物理学中的质点、点电荷 等点源无法用几何中的点来表示.那么,我们用数学语言如
2、何描述这类具有实际背景的点源 呢? 考虑一根长为l的直线,其上任一点的坐标 2 , 2 ll x.若总电量为Q的电荷均匀分布 在直线上,则直线上的电荷分布的线密度)(x是 = 2 , 2 , 0 )( l x l Q l x x (4.1.1) 由定积分的性质可知 xxQd )( + = (4.1.2) 若将上述线段无限缩小,或者说令0l,则我们得到了一个物理上常用的点源点电 荷.此时,电荷分布密度用)( 0 x表示,同时式(4.1.1)变为 = = 0, 0, 0 )( 0 x x x (4.1.3) 而此时,电量仍为Q,则式(4.1.2)仍然成立. 为了理解上的方便,我们修改一下问题的叙述
3、:去电量1=Q,线段长度为2,则密度 分布函数为 = x x x , 2 1 , 0 )( 且 1d)(d)(= + xxxxQ 由此可见)(x 是偶函数,则由积分第一中值定理可得 )()(d)()(d)()( z中任意一点),( 0000 zyxr处 置一单位正电荷,在点 0 x关于平面0=z的对称点),( 0001 zyxr处置一单位负电荷, 如图 4-3 所示.由它们所形成的静电场的电势在平面0=z上恰好为零.因此上半空间的 格林函数为 = 10 0 11 4 1 ),( rrrr rrG (4.4.6) 为了利用式(4.4.3)求解问题式(4.4.4),式(4.4.5)需要计算边界曲面
4、上的 n G 值.由于 在平面0=z上的外法线方向是Oz轴的负向,所以 )7 . 4 . 4( )()( 2 1 0 )()()( )()()( 4 1 2 3 22 0 2 0 0 2 3 2 0 2 0 2 0 0 2 3 2 0 2 0 2 0 0 0 0 00 zyyxx z z zzyyxx zz zzyyxx zz z G n G zz + = = + + + = = = 则定解问题式(4.4.4),式(4.4.5)的解为 + + + = dd )()( ),( 2 1 ),( 2 3 222 zyx z fzyxu (4.4.8) 用同样的方法，我们可以求出球域上的格林函数,并给
5、出球域内的狄利克莱问题的 解. 设有一球心在原点,半径为R的球面.在球内任取一点),( 0000 zyxr，在 0 Or的 延长线上截取线段 1 Or,令 00 =Or, 11 =Or,使 2 10 R=,这样的点 1 r称为点 0 r 关于球面的反演点(或对称点),如图4-4所示.我们在点 0 r处放置一单位正电荷,在点 1 r 处放置一q单位的负电荷,通过选择恰当的q值,使得这两个点电荷所产生的电势在球 面为零.即 ),( 0000 zyxr x z y O ),( 0001 zyxr 图 43 Pr q Pr 10 44 1 = 或 Pr Pr q 0 1 = 式中,P为球面上任意一点.
6、由于三角形POr1与POr0在点O处有公共角,且夹 这个角的两条边成比例 1 0 R R =,因此这两个三角形相似.于是得到 00 1 R Pr Pr = 因此 0 R q = 即只要在点 1 r处放 0 R 单位的负电荷,则由 0 r及 1 r处点源产生的电势在球面上为零,这 样,球域内的格林函数为 = 100 0 11 4 1 ),( rr R rr rrG (4.4.9) 式中,r为球域内任意一点,记 0 =Or. 下面,我们利用格林函数来求解球域内的狄利克莱问题 = = fu u0 ),(zyx 由式(4.3.9)得(介电常数) 1= S n rrG rfrud ),( )()( 0
7、0 = 0 r P O 图 44 0 r 1 r 因此,我们要计算 n G ,由 cos2 11 0 22 0 0+ = rr cos2 11 1 22 1 1+ = rr 01 2 =R 式中,是向量 0 Or与Or的夹角.所以 + + = 4 0 222 00 22 0 0 cos2 1 cos2 1 4 1 ),( R MMG 在球面上 2 3 0 2 0 2 2 0 2 2 3 4 0 222 0 0 22 0 2 3 0 2 0 2 0 )cos2( 4 1 )cos2( )cos( )cos2( cos 4 1 RR R R RRR RR R GG + = = + = = = 所以
8、狄氏问题的解为 Sf RR R R rud )cos2( 4 1 )( 2 3 0 2 0 2 2 0 2 0 + = (4.4.10) 为了方便解释物理现象,我们也可以利用格林函数的倒易性,求出球内任一点r处 的电势)(ru. 在球面上应用球坐标系,上式变为 + = 2 00 2 3 0 2 0 2 2 0 2 000 ddsin )cos2( ),( 4 ),( RR R Rf R u (4.4.11) 式中, ),( 000 是点 0 r的坐标;),(R是球面上点P的坐标;cos是向量 0 Or与OP 的余弦.因为向量 0 Or与Or的方向余弦分别是 )cos,sinsin,sin(co
9、s )cos,sinsin,sin(cos 00000 i 所以可得 )cos(sinsincoscos )coscossin(sinsinsincoscoscos 000 0000 += += 式(4.4.10)及式(4.4.11)称为球的泊松公式. 例 4 设有一半径为R的均匀球,球心在坐标原点,上半球面的温度保持为C o 0,下半球 面的温度保持为C o 2,求: (1) 球内温度的稳定分布; (2) 球内z轴上温度的分布; (3) 球心的温度. 解 这个问题的数学描述为 = = = 2 , 2 2 0, 0 )(0 R u Ru 由泊松公式,球内任一点),( 000 处的温度为 + =
10、 + = 2 00 2 3 0 2 0 2 2 0 2 2 00 2 3 0 2 0 2 2 0 2 000 ddsin )cos2( 2 ddsin )cos2( ),( 4 ),( RR RR RR R Rf R u 若只考 虑z轴 上 的 温 度, 即0 0 =(上 半 轴 )或= 1 ( 下 半 轴 ), 可 知 : 当0 0 = 时,coscos=,则 + + = = = + = + = 0 2 0 2 0 2 0 2 2 1 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 3 0 2 0 2 2 0 2 00 11 2)cos2( ddsin )cos2( 2 ), 0 ,( R R R RRR R R RR RR u 当= 0 时coscos=,故 + = 2 0 2 00 2 0 2 00 11 ),( R R R u 当0 0 时,应用洛必达法则有 1),(lim)0 , 0 , 0( 000 0 0 = uu 即球心温度为C o 1
