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1、 第二章 分离变量法 第二章 分离变量法 在前一章里，我们将物理学，力学，工学技术等方面的许多实际问题应用数学的方法归 结为一系列定解问题 如何求解这些问题成为本章急需解决的任务， 分离变量法是求解数学 物理方程常用的一种方法在微积分学中，计算多元函数的偏导数，重积分时，我们从一元 函数中响应问题的解法出发，启发和帮助我们解决多元函数的问题与此类似，求解偏微分 方程的定解问题，也要设法利用常微分方程已有的结论 分离变量法的基本思想是， 把数学物理方程中未知的多员函数分解成若干个一元函数的 乘积，从而把求解偏微分方程的问题转化为解若干个常微分方程的问题下面，我们通过实 例来介绍分离变量法的步骤与
2、实质 . 有界弦的自由振动 研究一根长l，两端), 0(lxx=固定的弦作微小振动的现象给定初始位移和初始速 度后，在无外力作用的情况下，求弦上任意处的位移，即求解下列定解问题 = = = =，则方程 0)()( 2 =+xXxX 由边界条件式（.）得 = = 0sin 0 lB A 由0)(xX，得0B，即 0sin=l 所以 l n n = （L, 2 , 1=n） 且方程的通解为 x l n BxX nn sin)(= 这样，我们称 ), 2 , 1 ()(L=n l n n 为固有值问题（式（.）式（.） ）的一系列固有值，相应的非零解 x l n sin为对应的固有函数 将固有值 n
3、 代入式（.） ，有 0)()( 2 222 =+tT l an tT nn 其通解为 ), 2 , 1(cossincos),(L=+=nt l an Dt l an CtxT nnn 于是得到满足式（.）及边界条件式（.）的一族特解 ), 2 , 1(sin)cossincos(),(L=+=nx l n t l an bt l an atxu nnn （.） 式中， nnnnnn DBbCBa=,是任意常数 由初始条件式（.）中的)(),(xx是任意给定的，一般情况下，式（. ）中的任何一个特解都不会满足初始条件式（.） 因为式（.）是线性 齐次的，根据叠加原理，级数 x l n t l
4、 an bt l an atxutxu nn n n n sin)sincos(),(),( 11 += = = （.） 是式（.）的解，且满足边界条件及初始条件，为此有 x l n axxutxu n nt = = = 1 0 sin)()0 ,(| ),( x l n bxxu t u n ntt = = = 1 0 sin)()0 ,(| 显然， n a和 l an bn 分别是函数)(),(xx在区间l , 0上正弦展开的傅里叶级数的系 数，即 )15. 1 . 2( dsin)( 2 dsin)( 2 0 0 = = xx l n x an b xx l n x l a l n l
5、n 将 nn ba,代入式（.） ，即得原定解问题的解 当然，要使式（.）所确定的函数),(txu确实是定解问题式（.） 式（.）的解，除了要确定 nn ba,外，还要求这个级数收敛，并且对tx,可逐项微分 两次 我们只要对函数)(),(xx加几个条件就可以满足上述要求， 具体的内容可查阅相关 教材（ 数学物理方程复旦大学数学系编） 这样的解称为古典解 需要注意的是，实际问题中，)(),(xx可能不具备古典解所要求的条件这样，由式 （.）所确定函数),(txu只能是原定解问题的一个形式解由实变函数的理论可 知，只要)(),(xx在l , 0上是 2 L可积的函数列 x l k Ax k n n
6、 n sin)( 1 = = x l k Bx k n n n sin)( 1 = = 分别平均收敛于)(),(xx，则定解问题 = = = ,则式(2.4.14)变为 ( )( )0 2 =+ 通解为 ( )sincos 21 cc+= 因为式(2.4.15), ( )()2+=及 21,c c是相互独立的常数,所以有 () () 2sinsin 2coscos += += 则 ()L, 2 , 1=nn n 所以 ()L, 2 , 1 22 =nn nn ( )()L, 2 , 1sin cos =+=nnbna n 我们称 n 为固有值，称ncos和nsin为相应的固有函数.在这里,一个
7、固有值对应多个线 性无关的固有函数. 将 2 n n =代入定解问题式(2.4.12),得到欧拉方程 0 22 =+ RnrRRr 当0=时 rdcRln 00 += 由有界性条件式(2.4.13)得0 0 =d,所以 00 cR= 当 2 n=时,有 ( )()L, 2 , 1=nrcrR n nn 则()( )( )()()L, 2 , 1sincos,=+=nrnbnarRru n nnnnn ()()() += 01 20 0 sincos 2 , nn nnn rnbna a ruru (2.4.16) 由边界条件式(2.4.9), ( )fu Rr = = 0 ,有 ( )() +
8、= 1 0 0 sincos 2 n n nn Rnbna a f 所以 ( ) ( ) ( ) = = = 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 dsinn 1 dcosn 1 d 1 f R a f R a fa n n n (2.4.17) 这样,边值问题(式(2.4.8)-式(2.4.9)解由级数式(2.4.6)给出,系数由式(2.4.17) 确定 非齐次的拉普拉斯方程也称为柏松(Poisson)方程,其边值问题也采用固有函数法展开的 办法求解.下面我们用例题来说明求解的步骤与方法. 例 8 考虑稳定的温度厂分布的问题 () = x. 如果限定x在某个有限区间()ba,内变化,那么边
9、界条件自然就给定在端点a 和b上,一般给定的都是齐次边界条件.边界条件的提法与( )xk在ax=及bx= 是否为零,以及哪个端点使( )xk为零有关,若( )0= =ax xk,则在ax=处未知函数应保持满足 所谓的自然边界条件,即ax =处未知函数应有界的特点. 关于固有值与固有函数,我们不加证明地给出几个结论. (1)存在无穷多个实的固有值,适当安排顺序,可构成一个非减序列 LL n 321 对应这些固有值存在无穷多个固有函数 ( )( )( )LL, 21 xyxyxy n (2)所有特征值均非负,即 ()L, 2 , 10=n n (3)设 mn 是任意两个固有值,对应的固有函数为( )( )xyxy mn ,则 ( )( )( ) = b a mn dxxyxyx0 即固有函数系( )()L, 2 , 1=nxyn在区间ba,上构成一个完备系,即函数( )xf若在()ba,内 可以按固有函数系展开为绝对且一致收敛的级数 ( )( ) = = 1n nn xyaxf 式中 ( ) ( )( ) ( )( ) ()L, 2 , 1 d d 2 = n xxyx xxyxfx a b a n b a n n
