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1、数学物理方程 第一章 绪论 数学物理方程 第一章 绪论 数学物理方程： 指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科学、技术科 学等的研究中归纳出来的一些偏微分方程、常微分方程、 积分方程、积分微分方程等，通常指偏微分方程 ? 悠久的历史： 十八世纪就有了著名的弦振动方程0 2 = xxtt uau， dAlembert(1717-1783,研究弦振动方程的先驱)在三篇 论文中给出了偏微分方程： 1744：流体的平衡和运动； 1746：风的起因； 1747：弦振动问题 ? 广泛的应用： 传统的： 流体力学：Navier-Stokes 方程组(粘性流体) Euler 方程组(无粘流体) 弹性力学：S
2、aint-Venant 方程组 电动力学：Maxwell 方程组(电磁场) 量子力学：Schrdinger 方程 Dirac 方程 (微观粒子) 广义相对论：Einstein 方程(引力场) 规范场：Yang-Mills 方程 磁流体力学、反应流体力学、热弹性力学 交叉学科： 生物数学：生物种群动力学、传染病动力学、DNA 分子动 力学 金融数学：随机微分方程 社会科学、经济学、 ? 特点 (1) 实际问题的数学描述多为非线性方程，难度比线性问 题大得多；但借助于线性问题的结果，可以简化非线 性问题； (2) 多种因素的联合作用和资相互影响产生非线性方程 组，比单个方程的研究要困难得多； (3
3、) 不再局限于传统领域， 其他一些领域如化学、 生物学、 农业、环保、经济等不断提出一些重要的偏微分方程 (4) 非线性定解条件的研究是一个很有意义的研究领域； (5) 与数学其他分支的关系： 几何、泛函分析、拓扑学及群论、计算方法等. 1 偏微分方程的基本概念与研究内容1 偏微分方程的基本概念与研究内容 1什么是偏微分方程？ 1什么是偏微分方程？ 物理量(如位移、温度等)-时间、空间位置 b b u -),(, 321 xxxxt= ),(),( 321 xxxtuxtuu= 物理量的变化规律 )(等式系式的各阶偏导数满足的关及关于函数xtu (称为偏微分方程-Partial Differe
4、ntial Equation) ? 一般形式： ), 2( , , ),( ),( (*)0),( 1 1 1 21 21 21 1 Nk kkk xx u uD x u x u Du xxxuu xxx uDDuuxxxF n k n k k k n n n N n n L L L L L L LL = =+ = = = = 为未知函数； 为自变量； 其中 ? 例子： )()( 0: ),() 1 ( 为任意函数fxfu uyxuu y = = ),)()( 0: ),()2( 为任意连续可微函数gfygxfu uyxuu xy += = ),( )()(),( )(),(: ),()3(
5、00 为任意连续可微函数 为已知函数 gf ygxfdsdttswu wyxwuyxuu x x y y xy += = )(),( )()( 0 , : ),()4( yxfyxu ftfu u uutusuu uutusuu yxtyxs uuyxuu s tsytysy tsxtxsx yx = = = =+= +=+= =+= = 为任意函数 作变量代换 )( ),(0 aybxfu babuau yx = =+为常数一般地， )(0 )(0 : ),()5( 热传导方程 弦振动方程 = = = xxt xxtt uu uu xtuu )(0: ),()6(调和方程=+= yyxx u
6、uyxuu )()()()( 0: ),()7( 11 xygygyxfxfu uyxuu xxyy += = )(,( 0: ),()8( 为任意函数fyxfu uzyxuu z = = 方程组)Riemann-Cauchy( 0 0 )9( =+ = xy yx vu vu 22 相关基本概念 相关基本概念 阶数：未知函数偏导数的最高阶数； 维数：空间变量的个数； （对发展型方程：维数=自变量个数1； 对非发展型方程：维数=自变量个数） 的经典解为则称恒满足偏微分方程 内内足够光滑并且在在 ，若函数求解区域解：设 (*)(*), ),( )(),( 1 1 u xxuu xx n n =
7、L L 自由项：方程中与未知函数无关的项 项即为自由项，也称右端),( ),(),( 1 11 n n N n xxg xxguDDuuxxG L LLL= 齐次方程：不含非零自由项 菲齐次方程：含有非零自由项 线性方程： 未知函数及其各阶偏导数均为线性的(一次的) vGbuGabvauG xxguG n )( ),( 1 +=+ =L方程改写为 否则称为非线性方程 线性：线性： 半线性(Semi-Linear)：主部(含最高阶导数的部分)线性半线性(Semi-Linear)：主部(含最高阶导数的部分)线性 拟线性(Quasi-Linear)：最高阶导数是线性的 拟线性(Quasi-Linea
8、r)：最高阶导数是线性的 完全非线性(Fully Nonlinear)：最高阶导数是非线性的完全非线性(Fully Nonlinear)：最高阶导数是非线性的 例如： 二阶线性齐次 =+ =+ =+ 0 0)( 0)( 2 2 zzyyxx zzyyxxt zzyyxxtt uuu uuuau uuuau 一阶线性非齐次 二阶线性齐次 四阶线性齐次 一阶半线性非齐次 二阶半线性齐次 三阶半线性齐次 一阶拟线性齐次 二阶拟线性齐次 一阶完全非线性非齐次 33 研究内容： 研究内容： 一般规律 + 附加条件 b b 方程 + 定解条件(初始条件、边界条件) 称为定解问题 定解问题的适定性：存在性
9、唯一性 稳定性 2 两个自变量的二阶线性偏微分方程 2 两个自变量的二阶线性偏微分方程 = + = =+ = 椭圆型 抛物型 双曲型 判别式 均为连续可微函数 :0 :0 :0 0 ,),2 , 1,(, 2 : ),( 2211 2 12 2 22 2 12 2 11 21221211 aaa aaa fcjiba fcuububuauaua yxuu jij yxyyxyxx 例如： 抛物型 热传导方程 双曲型 弦振动方程 , 0) 1(00 )(0 , 01) 1( 10 )(0 : ),( = = = = = xxt xxtt uu uu xtuu 椭圆型 调和方程 , 01110 )
10、(0: ),( , 2 11 12 1 11 12 = = + = a a dx dy a a dx dy , 2211 CxyCxy= = = xy xy 2 1 0 2211 =aa 时：0 11= a , 2 , 2 22 12 1 Cy a a xCx= = = y a a x x 22 12 2 0 2211 =aa 1111 DuCuBuAu+= = += s r = = += ssrr sr sr uuu uuu uuu += 1111 DuCuBuAuu srssrr 特征方程只有一个实根抛物: )(0)2(= 时：0 11 a, 11 12 21 a a = Cxy= 1 x
11、y 1 =0 11= a )0( 2211 2 12 =aaaQ0 12 =a 时：0 11= a0 12 = a)0( 2211 2 12 =aaaQ 2222 DuCuBuAu+= 特征方程没有实根椭圆: )(0)3(其余部分抛物一部分区域双曲 0 2 = yyxx uuy )0(),0(= = + + = + += = = + 记 此时令 可忽略 ),(),(),( 2 txftxuatxu xxtt =（强迫弦振动方程） 没有外力作用时： 0),(),( 2 =txuatxu xxtt （自由弦振动方程） 注：考虑弹性膜与弹性体的振动问题，可以得到二维和三 维波动方程。 1.21.2
12、定解条件的导出 1. 定解条件的导出 1. 初始条件 初始条件 ).()0 ,(),()0 ,( );(),( )()(,)()(:0 00 xxuxxu xuxu xuxut t t t t t = = = = 或记为 或记为 初始速度初始位移 例题 1 （见图）在d处将弦拉升至h后静止， 然后放手让其自由振动 0 0 ld h x xx+ )(xT u 2 )(xxT+ 1 g F x 0)(, ),( 0, )(= = =+= = TkTk uuukuTlx uuukuTx xx xx 或记为 ()()0, 0 2 0 1 =+= =lx x x x uuuu. 边界条件一般可分为三类：
13、 第一类边界条件(Dirichlet)： )(:);(:0 21 tgulxtgux= 第二类边界条件(Neumann)： )(:);(:0 21 tgulxtgux xx = 第三类边界条件(Robin)： ()0, )(:);(:0 21 2211 =+= tguulxtguux xx 注：两端点可以取不同类型的边界条件 1.31.3 波动方程的一般形式及其定解问题 波动方程的一般形式及其定解问题 () (),(3 ),(2 ),(1 ),( 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 tzyxfuuuau tyxfuuau txfuau x u x u u txxfuaun zzyyxxtt
14、 yyxxtt xxtt n ntt =+ =+ = + = = 维： 维： 维： 维： L L 定解问题： 1.1. 初值问题(Cauchy 问题) 初值问题(Cauchy 问题) () 长弦的振动注：一维时，即为无限 = = )(),(:0 0,),(),( 1 2 xuxut txxxtxfuau t n ntt RL 2.2. 混合初边值问题 混合初边值问题 () () = = 的边界为上的边界条件 )(),(:0 0,),(),( 1 2 xuxut txxxtxfuau t n ntt RL 边界条件分三类： () ()0)Robin( )Neumann( ;)Dirichlet( = + = = gu n u n g n u gu ：第三类边界条件 的单位外法线方向为 ：第二类边界条件 ：第一类边界条件 2 弦振动方程的 Cauchy 问题 2.1 求解齐次弦振动方程的 Cauchy 问题 2 弦振动方程的 Cauchy 问题 2.1 求解齐次弦振动方程的 Cauchy 问题 ( ) () = + (2) 决定区域（见图
