《数学物理方程和特殊函数模拟试题详2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方程和特殊函数模拟试题详2（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、模拟试题模拟试题 II 解答解答 一、 1. 0 ; 1 2 = = = = 0| ),(),( ; )(| ),( 00 G MMMMG Mfu MMhu 点；电像。 3)( 2 1 )(5)(2);13( 2 1 012 2 xPxPxPx+ 二、解 对方程和初始条件施行 Fourier 变换，并记 )( )(),( ),(=xFtutxuF 则原定解问题变为 = = )2( )( ,0)( ) 1 ( ),( )( 22 u tuciba dt ud 解方程(1)得 t a ib at a b cttciba eeAeAetu 2 2 2 2 2 22 ) 2 ( 4 )( ),( =
2、代入初始条件(2)得).( =A所以 t a ib at a b ct eeetu 2 2 2 2 2 ) 2 ( 4 )( ),( = )( ),( ),( 2 2 2 2 2 ) 2 ( 1 4 1 t a ib at a b ct eFeetuFtxu = )3( )( 4 2 2 2 ) 2 ( 1 2 2 t a ib a ct eFx a tb ee = 而 = 0 1 cos 1 2 1 222222 xdedeeeF taxitata ta x e ta 2 2 4 2 1 = 故由延迟性质 )()()()( 0 0 xfFGGxfeF xi = 有 x a b ta x a
3、e ta t a ib eF 224 2 2 1 2 2 2 2 1 ) 2 ( = ta bt ta btx ee ta btxx ta e ta 2 2 2 2 4 )( 4 )( 2 2 2 1 )2( 4 1 2 1 =+ = + (4) (4)式代入(3)式得 c ta btx e ta e txu ct + = 2 2 4 )( )( 2 ),( 三、解 = = + )2( )()0 ,( ) 1 ( 0, 0 xxu tx x u a t u 将(1)式两边分别对t和对x求异，并将后者乘以a后与前者相减得 0 2 = xxtt uau 此即我们熟知的波动方程，故立即可写出其通解为
4、 )()(),( 21 atxfatxftxu+= (3) 其中， 1 f和 2 f为任意函数。 将(3)式代入(1)式得 0)()()()( 1 =+atxf aatxf aatxf aatxf a 即 0)(2 1 =+atxf a 所以 catxf=+)( 1 （常数） (4) 将(3)式代入(2)式得 )()()( 21 xxfxf=+ 即 )()()( 12 xfxxf= 故 catxatxfatxatxf-)-( )4( )()()( 12 = (5) (4)、(5)式代入(3)式，于是得右行单波(1)(2)的解为 )(),(atxtxu= 四、解 其定解问题为 = = + = )
5、 3( )()0 ,( )2( 0), 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 fu tu uu D t u 令 )()(),(tTRtu= 代入方程(1)和齐次边界条件(2)得 = =+ 0) 1 ( 0)()()( 22 R RkRR (4) 0)()( 2 =tTDktT (5) 解本征值问题(4)得 , 2 , 1),()(,)()( 0 0 20202 =mxJRxkk mmmm (6) 于是(5)式变为 0)()()( 20 =tTxDtT m 解之得 txD mm m eCtT 20) ( )( = 故有 = = 1 )()( 0 0 20 ),( m xtJxD m mm eC
6、u (7) 将(7)式代入条件(4)得 = = 1 0 0 )()( m mm xJCf 故有 = 1 0 02 1 0 0 )(/)()(2 mmm xJdxJfC 于是得 = = 1 )()( 1 0 0 0 02 1 0 0 20 )()( )( 2 ),( m xtJxD m m mm edxJf xJ u 若,)()( 20 m xf=则 = 1 0 1 0 00 0 00 0 )()()()()( mmmm xdxJxdxJf = 0 0 0 1 0 1 0 )()()( m x mmm xJxdxxxJ dx d xx令 代入解得 = = 1 0 0 )( 0 1 0 )( )( 2),( 20 m m txD m m xJe xJ x u m
