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1、 数学物理方程 若偏微分方程中各项关于未知函数及其各阶偏导数都是一次的，则称这个方程为线性方程， 否则称其为非线性方程。 若非线性方程中，关于未知函数的所有最高阶偏导数都是线性的，称其为拟线性方程。 在线性方程中，方程中不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项，若方程的自由项为零， 称方程是齐次方程，否则称为非其次方程。 一维波动方程（弦振动方程） ： 22 2 22 ( , ) ( , ),( , ) uuF x t af x tf x t tx = 其中 表示 t 时刻单位质 量的弦在点 x 处所受外力。 m 维波动方程： 2 22 123 2 ( , ), m u auf x xxxt t
2、 = 一维热传导方程： 2 2 2 ( , ) uu af x t tx = 三维泊松方程（有源的电势方程） ： 222 222 ( , , ) uuu f x y z xyz += 无源的电势方程，三维拉普拉斯方程 222 222 0 uuu xyz += ，或 2 0u= 泛定方程：通常称偏微分方程为泛定方程。 定解条件：把初始条件、边界条件等附加条件称为定解条件。 泛定方程和定解条件往往做为一个整体提出来的，称为定解问题。 柯西问题：只有初始条件，而无边界条件的定解问题，又称初值问题。 混合问题：既有初始条件，又有边界条件的定解问题，又称初边值问题。 定解条件的适定性：若一个定解问题的解
3、满足如下三个准则： 1.解存在， 至少一个； 2.解唯一， 至多一个； 3.解稳定， 当定解条件和自由项发生微小变化时， 解的变化很微小。 初始条件 方程类型 初始条件个数 初始条件的一般形式 波动方程波动方程 方程中含时间的二阶导数，故给两个 初始条件 初始位移 0 ( ) t ux = = 初始速度 0 ( ) tt ux = = 热传导方程热传导方程 只含时间的一阶导数，只给一个初始 条件 初始状态 0 ( ) t ux = = 泊松方程泊松方程 描述稳恒状态，与初始状态无关，不提初始条件 边界条件 边界条件的类型 边界条件的形式 一些说明 第一类 1 S uf= S 表示区域的边界 n
4、 表示 S 的外法线方向 三类边界条件对上述三类典 型方程均适用 在边界的不同部分上边界条 件的类型可能不同 (1,2,3) i f i =都是定义在边 界 S 上的已知函数 （一般也依 赖于 t） 第二类 2 S u f n = 第三类 （混和边界） 3 () S u uf n += 行波法：又叫特征线法，先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。 达朗贝尔公式： 二阶线性微分方程： 它的特征方程： 椭圆型方程： 2 0BAC 积分变换法：1.傅立叶变换法 2.拉普拉斯变换法 齐次欧拉方程： 2 0RRR+ =它的通
5、解： 000ln ,(0) ln,(1,2,3) nn nnn RCd RCd =+= =+= 贝塞尔函数： n 阶贝塞尔方程： 亥姆霍兹方程： 满足条件： n 阶第一类贝塞尔函数： -n 阶第一类贝塞尔函数： 第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）： n 阶贝塞尔方程的通解 递推公式： 贝塞尔函数的模值为 注：考试的时候，不一定用的上，但值得拥有 11 ( , )()()( )d 22 x at x at u x txatxat a + =+ 222 22 20 uuuuu ABCDEFu xx yyxy += 22 (d )2 d d(d )0AyB x yCx+= 0. xxyy VVV+= 2
6、22 ()0r FrFrnF+= 222 |0 xyR V += = 2 2 2 2 00 ( )( 1) 2! (1) nm nmm nm nm mm x Jxax mnm + + + = = + 2 2 2 2 00 ( )( 1) 2! (1) nm nmm nm nm mm x Jxax mnm + + + = = + ( )( ), nn yAJxBY x=+ ( )co s( ) ( )lim( )lim sin n nn JxJx Y xYx = 1 ( )( )( ), nnn xJxnJxxJx += 1 ( )( )( ), nnn xJxnJxxJx + = ( ) 2 0 n R m n rJr dr R 的正平方根 () 2 222 2 0 d ydy xxxny dxdx +=
