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1、在许多领域（如电磁场理论，量子力学，固 体物理，材料物理，流体力学等）中都有应用。 在许多领域（如电磁场理论，量子力学，固 体物理，材料物理，流体力学等）中都有应用。 数学物理方法：数学物理方法：数学物理方法：数学物理方法：用数学思想方法解决物理用数学思想方法解决物理用数学思想方法解决物理 用数学思想方法解决物理 问题，是一门实用性很强的学科。问题，是一门实用性很强的学科。问题，是一门实用性很强的学科。问题，是一门实用性很强的学科。 第一篇 复变函数论 第二篇 数学物理方程 第一篇 复变函数论 第二篇 数学物理方程 第一章第一章第一章 第一章 复变函数复变函数复变函数复变函数 1.1 复数与复
2、数运算复数与复数运算 1.2 复变函数复变函数 1.3 导数导数 1.4 解析函数解析函数 1.5 平面标量场平面标量场 1.6 多值函数多值函数 * 实变实变函数函数 f (x)复变复变函数函数 f (z) 1.1 复数与复数运算复数与复数运算 1.1.1 复数的基本概念复数的基本概念 1. 定义1. 定义 形如形如 z = x + i y 的数称为复数，其中的数称为复数，其中x , y 为实数。为实数。 x = Rez，y = Imz 分别为分别为 z 的的实部和虚部实部和虚部， i 为虚数单位为虚数单位。 23 ,1,iiiii= = = = = 00,0zxy= =注意: 注意: )z
3、xy复数 复数 复平面上复平面上( ( ，的点的点 zxiyOP=+=+ 矢量矢量 z平面平面 虚轴虚轴 实轴实轴 P 复数与平面向量复数与平面向量一一对应一一对应 代数表示代数表示： z = x + i y 注意：复数不能比较大小注意：复数不能比较大小 2. 复数的三角表示复数的三角表示 (cossin)zi =+=+极坐标下极坐标下， 22 co ( / s s ) in x xy y arctg y x = =+ = = 其中 = =+ = = 其中 称复数的模， 称该复数的幅角。称复数的模， 称该复数的幅角。 20, 1,.Argarg.)zzkk = =+=， （=+=， （ 注意：
4、注意：幅角的多值性幅角的多值性,由于余弦函数的周期性，幅 角不能唯一确定，记 ,由于余弦函数的周期性，幅 角不能唯一确定，记 幅角幅角 幅角幅角主幅角：主幅角：arg02z 注意注意：0 0 的幅角无意义。的幅角无意义。 3. 复数的指数表示复数的指数表示 i ze = = 欧拉公式：欧拉公式：(cossin) i ei + += = * zxiy= = 4. 共轭复数的表示共轭复数的表示 * zz = x + i y (cossin) i ie = 注意注意：在三角表示和指数表示下， 两个复数 在三角表示和指数表示下， 两个复数相等当且仅当相等当且仅当模相等且幅 角相差 模相等且幅 角相差2
5、k * 2 ()()zzxiyxiyz =+ + 2 z 2 ,1 ii eie = 1.1.2 无限远点无限远点 定义定义：复数平面上复数的：复数平面上复数的模为无限大模为无限大的复数所对应的点。的复数所对应的点。 无穷远点无穷远点 复球面上的一点复球面上的一点 P 复平面上的一点复平面上的一点 z ? ? P O 1.1.3 复数的运算复数的运算 设设 z1 = x1 + iy1 和和 z2 = x2 + iy2 是两个复数是两个复数 1. 和和 z = z1 +z2 = (x1 +x2) + i (y1 +y2 ) 2. 差差 z = z1 - z2 = (x1 - x2) + i (y
6、1 - y2 ) 1212 zzzz + 1212 zzzz 4. 商商 112121221 2222 22222 i zx xy yx yx y zxyxy + =+ + + =+ + 1 1212 2 cos()isin() r r =+=+ 1 12 2 expi() r r = = 3. 积积 1212121212 ()i()x xy yxzyzx y= =+ 121212 cos()isin() =+ =+ 1212 expi() + += = 两个复数相乘等于它们的 模相乘，幅角相加 两个复数相乘等于它们的 模相乘，幅角相加 i ze = = / (cossin) (cossin)
7、 ninn n nn n in zenn ze nn i i = = = = =+ =+ =+ =+ 5. 幂与开方 由于幅角 不唯一， 可以取多个值。 幂与开方 由于幅角 不唯一， 可以取多个值。 n 复数可以用复数可以用实部与虚部表示，实部与虚部表示，故复数的研究可以归 结到对应实数的研究。 故复数的研究可以归 结到对应实数的研究。 4100 i1) i1 (+和求 i ze = = 20, 1,.Argarg.)zzkk = =+=， （=+=， （ 1.2 复变函数复变函数 1.2.1 复变函数的定义复变函数的定义 实变函数实变函数 f (x)复变函数复变函数 f (z) 定义：定义：
8、设点集设点集 E 是复数是复数 z = x + i y 的集合。对于的集合。对于 E 中的每一个中的每一个 复数复数 z , 按照一定的规律，有一个或多个复数值按照一定的规律，有一个或多个复数值 w 与之相对与之相对 应，则称应，则称w 是是 z 的函数，或的函数，或复变函数复变函数，记作，记作 ( ),fEwzz= = 复变函数论中，着重研究的是解析函数。复变函数论中，着重研究的是解析函数。 1.2.2 区域的概念区域的概念 1 区域：满足一定条件的区域：满足一定条件的点集点集，用，用 B 表示。表示。 2 邻域： 平面上以邻域： 平面上以 z0 为圆心，以为圆心，以任意小任意小的正实数 为
9、半径作 一圆，则圆内的所有点组成的集合，称为 的正实数 为半径作 一圆，则圆内的所有点组成的集合，称为 z0 的邻域的邻域 |z-z0 | z0 0|z-z0 | z0 B 若 及其邻域均属于点集若 及其邻域均属于点集 E ，则称 为该点集的，则称 为该点集的内点内点。 0 z 0 z 3 内点：内点： 4 外点： 若 及其邻域均不属于点集 外点： 若 及其邻域均不属于点集 E ，则称 为该点集的，则称 为该点集的外点外点。 0 z 0 z 5 境界点： 若在 的每一个邻域内，既有属于 境界点： 若在 的每一个邻域内，既有属于 E 的点，也有不属于的点，也有不属于E的 点 的 点 ，则称 为该
10、点集的，则称 为该点集的境界点境界点。 0 z 0 z 境界线境界线：所有境界点的全体。：所有境界点的全体。 B z1 z2 p 6 区域满足的区域满足的两个条件两个条件： （1）全由）全由内点组成内点组成 （2）具有）具有连通性连通性 闭区域区域闭区域区域 B 连同它的境界线一起构成的区域，记为连同它的境界线一起构成的区域，记为B 7 闭区域与开区域闭区域与开区域 开区域 全由内点构成的区域，记为 开区域 全由内点构成的区域，记为 B 。 B B 2 012 2 012 2 012 ( )() ( )( ,) ( ) ( )(cossin )2 n n n n m n zx iyx f za
11、a za za znn aa za za z f zn mn bb zb zb z f zza f zeeeyiyTi + + =+ + = + = =+= 为整数 为整数 =+ + = + = =+= 为整数 为整数 1.2.3 复变函数举例复变函数举例 1 ( )sin()2 2 1 ( )cos()2 2 1 ( )()2 2 1 ( )()2 2 iziz iziz zz zz f zzeeT i f zzeeT f zshzeeTi f zchzeeTi = = = =+ += = = = = =+ += = ln ( )lnln()ln ( )() iArgz ssz f zzz
12、eziArgz f zzes =+ =为复数 =+ =为复数 1.2.4 复变函数与实变函数的关系复变函数与实变函数的关系 若复变函数的若复变函数的实部与虚部实部与虚部分别用分别用 u (x, y) 和和v (x, y) 表示，则表示，则 复变函数的研究归结为复变函数的研究归结为一对实变函数一对实变函数的研究。的研究。 即当即当 时，时， ( )( , )( , )f zu x yv ix y= =+ + 如如 f (z) 在在 连续的定义，是连续的定义，是 000 zxy= =+ + 当时当时， 0 zz 0 ( )()f zf z 0 0 xx yy 00 00 ( , )(,) ( ,
13、)(,) u x yu xy v x yv xy 1. 3 导数导数 1.3.1 导数定义导数定义 设函数设函数 w = f (z) 定义于定义于B上，上， 如果当如果当 按任意方式趋于按任意方式趋于0时存在极限时存在极限 00 ,zB zzB+ z 00 ()( ) limlim zz wf zzf z zz + = = 则称则称w = f (z) 在点在点 可导（可微），此极限称为函数可导（可微），此极限称为函数f (z) 在点在点 的导数。的导数。 0 z 0 z fz ( ) 如果函数如果函数 w = f (z) 在区域在区域 B 内的内的每一点可导每一点可导，则称，则称 f (z)
14、在区域在区域B内可导内可导 说明说明: 1.3.2 求导公式求导公式 1.3.3 复变函数可导的必要条件复变函数可导的必要条件 （柯西（柯西-黎曼方程黎曼方程或或C-R条件）条件） 与实变函数相比，复变函数的可导要严格得多。与实变函数相比，复变函数的可导要严格得多。 原因：原因： 的的方式有很多种方式有很多种。z0 1. 令令 0,0yx ( )( , )( , )wf zu x yv ix y= =+=+复变函数复变函数 00 ()( ) limlim zx wf zzf z zz + = = 0 (, )(, ) ( , )( , ) lim x u xx yv xx yii i u x yv x y xy + + + + + + + = = + + 00 (, )( , ) (, )( , ) limlim xx i u xx yu x yv xx yv x y xx + + + + =+=+ v i u xx =+=+ 2. 令令 0,0xy 0 l
