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1、数学分析答案数学分析答案 第一章第一章 实数集与函数实数集与函数 1 实数实数 1、设a为有理数，x为无理数，试证明： xa是无理数. 当0a时，ax是无理数. 证：证： 假设xa是有理数，则xaxa )(是有理数，这与题设x为无理数相矛盾， 故xa是无理数. 假设ax是有理数，则x a ax 为有理数，这与题设x为无理数相矛盾 故ax是无理数. 1、 试在数轴上表示出下列不等式的解： 0) 1( 2 xx； 2、 设a、Rb.证明：若对任何正数有ba，则ba . 证证: :用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有ba 或ba ; 若ba ,则又由绝对值定义知:baba. 令ba,则为
2、正数,但这与baba矛盾; 若ba ,则又由绝对值定义知:abba. 令ab,则为正数,但这与abba矛盾; 从而必有ba . 3、 设0x,证明2 1 x x,并说明其中等号何时成立. 证证: :因x与 x 1 同号,从而2 1 2 11 x x x x x x, 等号当且仅当 x x 1 ,即1x时成立. 数学分析答案数学分析答案 4、 证明:对任何Rx,有 121xx；2321xxx 证: 因为21111xxx, 所以121xx. 因为21132xxxx, 所以2321xxx 5、 设a、b、 Rc( R表示全体正实数的集合),证明:cbcaba 2222 证证: :对任意的正实数a、b
3、、c有)(2 2222 cbabca, 两端同时加 244 cba ,有 22422222224 2cbacababcacba, 即)()( 222222 cababca bccabaa2)(22 22222 , 两端再同加 22 cb ,则有cbcaba 2222 其几何意义为:当cb 时,以),(ba,),(ca,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小 于第三边. 当cb 时,此三角形变为以),(ca,)0,0(为端点的线段,此时等号成立 6、 设0,0bx,且ba ,证明 xb xa 介于 1 与 b a 之间. 证证: :因为 xb ab xb xa 1, )( )( xbb ab
4、x b a xb xa ,且0, 0bx 所以当ba 时, b a xb xa 1; 当ba 时, 1 xb xa b a ; 故 xb xa 总介于 1 与 b a 之间. 数学分析答案数学分析答案 7、 设p为正整数,证明:若p不是完全平方数,则p是无理数 证:假设p是有理数,则存在正整数m、n使 n m p ，且m与n互素. 于是 22 mpn.可见n能整除 2 m. 由于m与n互素,从而它们的最大公因数为 1,由辗转相除法知:存在整数u、v使 1nvmu. 从而mmnvum 2 因n能整除 2 m,又能整除mnv,故能整除其和,于是n可整除m,这样1n 因此 2 mp .这与p不是完全
5、平方数相矛盾, 故p是无理数 8、 设a与b为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： bxax；bxax；bax 2 . 解: 原不等式等价于11 bx ba 这又等价于20 bx ba 即 bxba bx 220 或 bxba bx 220 即 ba ba x bx 2 或 ba ba x bx 2 故当ba 时,不等式的解为 2 ba x 当ba 时,不等式的解为 2 ba x 当ba 时,不等式无解. 原不等式等价于 bxax bx 且 bxxa bx 即 ba bx 且 2 ba x bx 故当ba 时, 2 1b x ; 当ba 时,不等式无解. 数学分析答案数学分析答案 当0b时,显然原不等式无解, 当0b时原不等式等价于baxba 2 因此当0ba或0b时,无解 当0ba且0b时,有解 如果ba ,则解为baxba 即baxba或baxba 如果ba ,则解为bax 即baxba
