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1、博士家园考研丛书 （2010 版） 全国重点名校数学专业考研真题及解答 数学分析与高等代数 考研真题详解 浙江大学数学专卷 浙江大学数学专卷 博士家园 编著 博士家园 编著 博士家园系列内部资料 博 士 家 园 数 学 专 业 考 研 丛 书 编委会 这是一本很多数学考研人期待已久的参考书， 对于任何一个想通过考取重点院校的研究 生来进一步深造的同学来说， 历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。 为了帮助广大 同学节约时间进行，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从 2004 年开始 大量收集数学专业的考研真题， 其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要。 有些试 题还很难收集
2、或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园( ), 这个互联网平台，征集到了最新最全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高 校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审 稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无 闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！ 国际数学大师陈省身先生提出： “要把中国建成 21 世纪的数学大国。 ”每年有上万名数 学专业的学生为了更好的深造而努力考研， 但是过程是艰难的。 我们为了给广大师生提供更 多更新的信息与资源建立了专业网站博士家园网站。 本站力图成为综合性全国数学
3、信息 交换的门户网站， 旨在为科研人员和数学教师服务， 提供与数学研究和数学教学有关的一切 有价值的信息和国内外优秀数学资源检索，经过几年的不懈努力，成为国内领先、国际一流 的数学科学信息交流中心之一。 由于一般的院校可能提供一些往年试题， 但是往往陈旧或者 没有编配解答， 很多同学感到复习时没有参照标准， 所以本丛书挑选了重点名校数学专业的 试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校 的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们 的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载最新试 题： 博
4、士家园主页网址： 博士数学论坛网址： 数学资源库: 欢迎投稿，发布试题，对于本书疏漏之处欢迎来信交流，以促改正：www.boss www.boss 博士家园 二零一零年二月 2 博士家园系列内部资料 数学分析与高等代数考研真题详解数学分析与高等代数考研真题详解 浙江大学考研数学专卷浙江大学考研数学专卷 目录目录 1999 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答 2002 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答 2003 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答 2005 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答 2005 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答 2007 年招收
5、硕士研究生入学考试数学分析试题及解答 2007 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答 2008 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答 2009 年招收硕士研究生复试试题常微分，复变，实变部分 2010 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题 2010 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题解答 2 博士家园系列内部资料 浙江大学 1999 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答 3 博士家园系列内部资料 1999 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题解答年招收硕士研究生入学考试高等代数试题解答 一：证明：充分性：若( )f x能表示成一个整数多项式的平方，显然( )f x在有理数域
6、上可 约 必要性：由于( )f x在有理数域上可约，在存在整数系数多项式( )( ),g xh x有 ( )( ) ( )f xg x h x=，( )()( )()0,0g xh x，由于1in ， ( )1 i f a=，即，则 ( ) ( )1 ii g a h a= ( )( )0 ii g ah a= 令( )( )( )F xg xh x=，则( )(),F xn，则此时 0n EA为严格对角占优矩阵，即 0n EA可逆，这与 0 为A的特征值矛盾，从而， 1 ( )2，令11 1 T x =?，则 1 1 0 1 1 1 n i i n ni i a Axxx a = = = ?
7、，从而 0 为A的一个特征值 七：证明：由于A正定，从而，存在可逆矩阵C有， T AC C=， 5 博士家园系列内部资料 ()()()()( ()() ()() 22 2 , TTT TTTTTT AC CCCCCC C CC CAA ),C = = 由于上述不等式，等号成立时候当且仅当，存在数，使 12 ,k k 12 0k Ck C+=，即 12 0kk+=，即, 线性相关 八：证明：(设)1A的特征多项式为( )f，B的特征多项式为( )g，由于,A B无公共特 征值，从而，所以( )( )(),1fg=( )f B可逆，由于AXXB=，故对于，均有 n ? nn A XXB=，就有(
8、)( )fA XXf B=，所以( )00Xf BX=， 即AXXB=只有零解； ( )2, n n x yk ?，由 ()() ()xyA xyxy AAxxAAyyAxy+=+=+= + ()() ()()A kxA kxkx AkAxkxAk AxxAk x=+=+=+= 所以是一个线性变换， 由于A和A无公共特征根，即根据( )1的结论就有 ()AXXA=只有零解，即只有零解，从而0AXXA+=可逆，即 为一个可逆线性变换 浙浙 江江 大大 学学 二二年攻读硕士研究生入学考试试题二二年攻读硕士研究生入学考试试题 考试科目：数学分析 一、 （共 30） （A） （10）用“语言”证明0
9、3 ) 1)(2( lim 1 = x xx x ； （B） （10）给出一个一元函数，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之； f （C） （10）设为二元函数，在附近有定义，试讨论“在 处可微”与“在附近关于 ),(yxf),( 00 yx),(yxf),( 00 yx ),(yxf),( 00 yxx、的偏导数都存在”之间的关系，必要时， 请给出反例。 y 二、 （共 30） 6 博士家园系列内部资料 （A） （5）设 1 2 )( + + = x x xf，数列 n x由如下递推公式定义：1 0 =x， ，1，求证： )( 1nn xfx= + 0(=n2)?2lim= n n x
10、。 （B） （5）求 2 1 coslim x x x 。 （C） （5）求，1，)0( )(n f0(=n2)?0)0(=f， 2 1 )( x exf =（当时） 。 0x （D） （5）求不定积分 2 1x dx+ 。 （E） （5）证明： = = 1 1 )( n x n x在), 1 (上连续可微。 三、 （共 20） （A） （10）求第一型曲面积分 =+ + = 2222 222 )( Rzyx hzyx dS I，其中。 Rh （B） （10）设a、b、为三个实数，证明：方程的根不超过三个。 ccbxaxe x += 2 四、 （共 20） 设，求证： xxxxf n n co
11、scoscos)( 2 +=? （A） （10）对任意自然数，方程n1)(=xfn在)3/, 0内有且仅有一个正根； （B） （10）设 n x)3/1 , 0是1)(=xfn的根，则3/lim= n n x。 浙江大学浙江大学二二年攻读硕士研究生入学考试试题二二年攻读硕士研究生入学考试试题 数学分析解答 一、（A） 证明： 0 ， 取min ,1 2 =， 则当|1|x，又，故在0上/p q 的点只有有限个，设为 1 x， 2 x，.， s x。 令 10200 min|,|,.,| s xxxxxx=，则当 0 |xx的某一正数。 由于 0 11 11 ( )lnln nn n xx ii
12、 Sxnn nn = = ,并且当n足够大时 0 11 11 ln nn xs ii n nn = ， 0 (1)sx，。 2n 令 cos ( ) 1 cos x f x x = ，, 4 3 x ，并将( ) nn fx N 延拓至0, 3 ，则易知 cos (1 cos) lim( )lim( ) 1 cos n n nn xx fxf x x = ，并且在, 4 3 上一致收敛，于是有 1lim()() nn n fxf x =，即有 cos 1 1 cos x x = ，该方程在, 4 3 上只有唯一根 3 x =，这 就证明了3/lim= n n x。 11 博士家园系列内部资料
13、浙江大学浙江大学 2003 年研究生数学分析试题年研究生数学分析试题 1 （15 分）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之。 2 （ 15 分 ） 设( )f x在 ,a 上 一 致 连 续 ，( )x在 ,a 上 连 续 ， 且 lim ( )( )0 x f xx =。 证明：( )x在 ,a 上一致连续。 3 （15 分）设( )f x在 ,上有二阶连续导数，且，当a ( )0,( )0f afa 时。 ( )0fx 证明：在 ,内，方程a ( )0f x =有且只有一个实根。 4 （20 分）设( )f x连续， 1 0 ( )()dxf xtt=，且 0 ( ) lim
14、x f x A x =（常数） ，求( )x， 并讨论( )x 在处的连续性。 0x = 5 （10 分）定义为 ( ) n P x 2 1d (1) ( ) 2!d nn n nn x P x nx =，1,2,n =? 0( ) 1P x = 证明： 1 1 0 ( )( )d 2 21 mk mk P x P x x mk m = = + 。 6 （10 分）给出 Riemann 积分( )d b a f x x 的定义，并确定实数 的范围使下列 极限收敛 s 1 0 1 lim( ) n s n i i nn = 。 7 （20 分）证明： 1）函数项级数 1 2 1 ( 1)n n nx = + 在(,) 上一致收敛， 但是对任意非绝 对收敛； (,x ) 2）函数项级数 2 2 1(1 )n n x x = + 对任意(,x) 都绝对收敛，但在(,上非) 12 博士家园系列内部资料 一致收敛。 8 （45 分）计算 1） （15 分） 1 001 maxlnd s stt ； 2） （15 分） 2 D 3 d d 3 x x y yxy+ ，其中为平面曲线D 22 1,3,3xyxyyx yx=所围成 的有界闭区域。 3） （15 分） 1 ( , , )d x y z f x
