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1、2011年9月Bai Tianrui 逻辑代数基本定律与规则 基本形式与标准形式 逻辑函数化简 公式化简法 卡诺图形化简法 表格化简法 Verilog HDL 第二章 逻辑代数（第二章 逻辑代数（Boolean Algebra）基础）基础 2011年9月Bai Tianrui 教学基本要求教学基本要求 熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式和规则。熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式和规则。 掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法；掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法； 熟悉硬件描述语言熟悉硬件描述语言Verilog HDL 2011年9月Bai Tianrui 2.1 逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律
2、和规则 基本定律 结合律、交换律 摩根定律 基本规则 代入规则、反演规则 对偶规则、展开规则 对偶规则：Duality 摩根变换： DeMorgan Symbol Equivalence 代数运算：Algebraic Manipulation 2011年9月Bai Tianrui 1. 基本定律基本定律 一致性 幂等性 回旋性 互补性 交换律 结合律 分配律 吸收律 2011年9月Bai Tianrui N-variable Theorems 幂等性 摩根定律 先农展开 基本等式的对偶性：基本等式的对偶性： T 和 T中，0-1互换，“与”-“或”互换，等式仍然成立-对偶规则对偶规则 X +
3、(X Y) = X (T9) X (X + Y) = X (T9) dual (XY)+(XZ) = X(Y+Z) (T8) (X+Y) (X+Y) = X+YZ (T8) dual 2011年9月Bai Tianrui 2. 基本规则基本规则 1. 代入规则：代入规则：任何一个含有变量X的等式，将所有出现 X的地方换成一个逻辑式，等式仍然成立。 2. 反演规则：反演规则：对任何一个表达式，将“”和“+” 、原变量 和反变量互换， 0-1互换，所得表达式是原式的反。 3. 对偶规则：对偶规则：对任何表达式，将“”和“+” 互换， 0-1互 换，可得到一个新的表达式，此式是原式的对偶式。 4.
4、展开规则（先农展开）：展开规则（先农展开）： ),.,1,.,(),.,0,.,(),.,( ),.,0,.,(),.,1,.,(),.,( 212121 212121 ninin ninin xxxfxxxxfxxxxf xxxfxxxxfxxxxf BCADCBCBA)(F例如： )()BFBCADCCBA（）（ 利用反演规则得： 2011年9月Bai Tianrui 异或和同或运算中的常用公式异或和同或运算中的常用公式 F=AB F=AB AA=1 AA=0 AA=0 AA=1 A0=A A1=A A1=A A0=A AB=BA AB=BA A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C
5、 A(BC)=ABAC A+(BC)=(A+B)(A+C) 2011年9月Bai Tianrui Discussion In the previous sections of the course we studied the Exclusive-OR (XOR) gate, which we already know can be implemented in the following form: Question: Is there another way in which we can implement the same logical function? A B Q YES! 20
6、11年9月Bai Tianrui 2.2 基本形式和标准形式基本形式和标准形式 基本形式 最小项和最大项 最小项和最大项的性质 两种标准形式 最小项之和形式 最大项之积形式 其它常用形式和相互转换和相互转换 Discussion 2011年9月Bai Tianrui 1. 基本形式基本形式 两种基本形式： 乘积项之和（先与后或， SOPSum of products ） ： CABCBABF 1 和项之积（先或后与，POSProduct of sums ： )()( 2 CACBBAF 2011年9月Bai Tianrui 2. 最小项和最大项最小项和最大项 最小项最小项（Minterms）
7、：在n变量逻辑函数中，如果mi是包含 n个变量的乘积项，且这n个变量均以原变量或反变量 的形式在mi中出现且仅出现一次，则mi被称 为n个变量的最小项。 最大项最大项（Maxterms） ：在n变量逻辑函数中，如果Mi是n个变量 之和项，且这n个变量均以原变量或反变量的形式在 Mi中出现且仅出现一次，则Mi被称 为n个变量的最大项。 92 mDCBAmCBA 6 MDCBA 5 MCBA 相同编号的最小项与最大项互反相同编号的最小项与最大项互反 2011年9月Bai Tianrui 四 变 量 所 有 最 小 项 和 最 大 项 四 变 量 所 有 最 小 项 和 最 大 项 序号最小项最大项
8、 0m0M0 1m1M1 2m2M2 3m3M3 4m4M4 5m5M5 6m6M6 7m7M7 8m8M8 9m9M9 10m10M10 11m11M11 12m12M12 13m13M13 14m14M14 15m15M15 DCBA DCBA DCBA CDBA DCBA DCBA DBCA BCDA DCBA DCBA DCBA CDBA DCAB DCAB DABC ABCD DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DBBA DCBA DCBA 2011年9月Bai Tianrui 3. 最小项
9、和最大项的性质最小项和最大项的性质 最小项性质： 最大项性质： 最小项性质： 最大项性质： 1. 任何取值下仅有一个 最小项为1 )(0. 2jimm ji 1. 3 i m 4. 任何函数均可表示为 最小项之和形式 5. 相邻的两个最小项可合 并为一项，并消去一个 因子 1. 任何取值下仅有一个 最大项为0 )( 1. 2jiMM ji 0. 3 i M 4. 任何函数均可表示为 最大项之积形式 5. 相邻的两个最大项可合 并为一项，并消去一个 因子 互为 对偶 2011年9月Bai Tianrui 4. 两种标准形式两种标准形式最小项之和形式最小项之和形式 )15,14, 6 , 4( )
10、()( ),( 461415 m mmmm DCBADBCADABCABCD DCCBADDABC DBAABCDCBAF 最小项之和形式最小项之和形式（Sum of Minterms） ： 用A 1=A和A+ A =1可将任何函数展开成最小项之和形式 2011年9月Bai Tianrui 两种标准形式两种标准形式最大项之积形式最大项之积形式 最大项之积形式最大项之积形式（Product of Maxterms） ： 如果函数Y是最小项之和形式，据Y+Y=1可知，Y等于从全部最 小项中去掉Y 所包含的最小项后剩下的最小项之和（一次求反一次求反） ikmYmY ki 则如果即 根据摩根定律 ik
11、 k ik k MmY 所以，只要能写出函数的最小项之和的形式，根据上 述方法就可得到最大项之积的形式 )13,12,11,10, 9 , 8 , 7 , 5 , 3 , 2 , 1 , 0( MMMMMMMMMMMM 13121110987 , 53210(),( 13121110987 , 53210(),( 1YY )15,14, 6 , 4( ),( 1312111098753210 461415 M mDCBAF mDCBAF m mmmm DCBADBCADABCABCDDCBAF ）， ）， 得：根据 例如： （二次求反二次求反） 2011年9月Bai Tianrui 5. 逻辑
12、函数表达式的常用形式逻辑函数表达式的常用形式 由各与项相或组成 由各或项相与组成 最小项表达式最小项表达式由最小项相或组成 由最大项相与组成 全部是与非运算 全部是或非运算 与或非运算 与或式与或式F=AB+AC 或与式 最大项表达式 与非与非式 或非或非式 与或非式 或与式 最大项表达式 与非与非式 或非或非式 与或非式 名 称表 达 式 举 例特 点名 称表 达 式 举 例特 点 F=(A+B)(A+C) F=ABC+ABC+ABC+ABC F=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) F=AB AC F=(A+B)+(A+C) F=AB+AC 2011年9月Bai Tia
13、nrui 常用形式间的相互转换常用形式间的相互转换 (1)代数法(1)代数法 或与式或与式与或式与或式 与非与非式与非与非式或非或非式或非或非式 与或非式与或非式 两次求反 两次求反 两次求反保留 外面的长非号 脱去短非号 两次求反保留 外面的长非号 2011年9月Bai Tianrui 常用形式间的相互转换常用形式间的相互转换 （2）卡诺图法（2）卡诺图法 填入卡诺图后，圈0格填入卡诺图后，圈0格 填入卡诺图 后，圈1格 填入卡诺图后，将所 有1格的最小项相或 填入卡诺图后，将所 有0格的最大项相与 填入卡诺 图后，圈 0 填入卡诺图后，圈 0，写出F的与或式 填入卡诺图 后，圈1格 填入卡
14、诺图后，将所 有1格的最小项相或 填入卡诺图后，将所 有0格的最大项相与 填入卡诺 图后，圈 0 填入卡诺图后，圈 0，写出F的与或式 或与式或与式 最简与 或式 最简与 或式 最简与 非式 最简与 非式 两次 求反 最小项 表达式 最大项 表达式 最小项 表达式 最大项 表达式 或与式或与式 两次 求反 求出F的与 或非式 求出F的与 或非式 最简或 非式 最简或 非式 与或式与或式 2011年9月Bai Tianrui 2.3 逻辑函数化简逻辑函数化简 最简与或式：与项最少，与项中变量个数最少。 公式化简法 (Algebraic Manipulation of Boolean Expres
15、sions) 卡诺图化简法 卡诺图 (Karnaugh Maps) 化简规则和步骤 不完全确定逻辑函数化简 多输出函数的化简 表格化简法 (Tabular Method of Minimisation) 2011年9月Bai Tianrui 2.3.1 公式化简法公式化简法 2. 吸收法： A+AB=A 1. 并项法： AB+AB =A 5. 配项法： A=A（B+B） A+A=A 3. 消因子法： A+AB=A+B ACAACCAABCCBAL例如： ACFDACACFDACABCACL)()(例如： BCABCABCCABABCL例如： 4. 消项法： AB+AC+BC=AB+AC DBDCCBA DBDCBDBCCBDCBCDBA DBCCDBCBDDCBA DBDBCBCBGFADEA GFADEDBDBCBCBCBA GFADEDBDBCBCBCAABL )()( )( )( )(例如： 2011年9月Bai Tia
