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1、初中常见动点问题解题方法,唐江红旗学校 张远强,引言,以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻.,常见的动点问题,一、求最值问题 二、动点构成特殊图形问题,一、求最值问题,初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借
2、助的主要基本定理有三个： （1）两点之间线段最短； （2）三角形两边之和大于第三边； （3）垂线段最短。 求线段和最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题。,一、求最值问题,例、如图，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边 三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P， 使PD+PE的值最小，则其最小值是 _,一个动点,特点： 已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上确定一 动点的位置，使动点与两定点线段和最小，求出最小值。,思路： 解决这类题目的方法是找出其中一定点关于直线的对称点， 连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点 满足最值的位置。,考题中，
3、经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等 边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称 点就在这个图形上。,p,练习 1、如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线， F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2， 当EF+CF取得最小值时，则ECF的度数为（ ） A15 B.22.5 C.30 D. 45 2、如图，在直角梯形中，ADBC，ABBC,AD=2， BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得 最小值时，APD中AP边上的高为 _ 3、如图，O的半径为2，点A、B、C 在O上，OAOB, AOC=60，P是OB上 的一动点，则P
4、A+PC的最小值是_,两个动点（一）,特点：已知一个定点位于平面内两相交直线之间， 分别在两直线上确定两个动点使线段和最小。,思路：这类问题通过做这一定点关于两条线的对称 点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同 一直线上来解决。,例、如图，AOB=45，P是AOB内一 点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求PQR周长的最小值是_ 。,例、如图，AOB=45，P是AOB内一 点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求PQR周长的最小值是_ 。,解析：,过OB作P的对称点,过OA作P的对称点,90,练习 1. 如图，已知AOB的大小为，P是AOB内 部的一个定点，且OP=2
5、，点E、F分别是OA、OB 上的动点，若PEF周长的最小值等于2，则=（ ） A30 B.45 C.60 D.90 2. 如图，AOB=30，内有一点P且OP=2， 若M、N为边OA、OB上两动点，那么PMN 的周长最小为（ ） A26 B.6 C. 6/2 D. 6,两个动点（二）,特点：两动点在两条直线上，定点和其中一个动点共 线，求不共线动点分别到定点和另一动点的距 离和最小值。,思路：（1）利用轴对称变换，使不共线动点在另一动 点的对称点与定点的连线段上（两点之间线段 最短）,例 、如图，在锐角ABC中AB=42,BAC=45，BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上 的动
6、点，则BM+MN的最小值是 _,（2）这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。,例 、如图，在锐角ABC中，AB=42,BAC=45，BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上 的动点，则BM+MN的最小值是 _,解析：,作点N关于AD的对称点,此时BMMNBMM,则要满足： B，M， 三点共线,B 垂直于 AC,练习 1. 如图，在ABC中，C=90，CB=CA=4， A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是_ 2. 在锐角三角形ABC中，AB=4，BAC=60， BAC的平分线BC于D，M、N分
7、别是AD与AB 上动点，则BM+MN的最小值是 _ ,小结,以“搬点移线”为主要方法，利用轴对称性质求解决几何图形中一些线段和最小值问题。如何实现“搬点移线”,（1）确定被“搬”的点,（2）确定被“移”的线,二、动点构成特殊图形,问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决。,如图：梯形ABCD中，AD/BC， AD=9cm,BC=6cm，点P从点A出发， 沿着AD的方向向终点D以每秒一个 单位的速度运动
8、，当点P在AD上运 动时，设运动时间为t，求当t为何值 时，四边形APCB为平行四边形.,P,问题导入,P,解析,6,t,四边形APCB为平行四边形, AP=6 t=6,动点构成特殊图形解题方法,4、根据所求,利用特殊图形的性质或相互关系， 找出等量关系列出方程来解决动点问题,2、先确定特定图形中动点的位置,画出符合题意 的图形化动为静,3、根据已知条件，将动点的移动距离以及解决 问题时所需要的条件用含t的代数式表示出来,1、把握运动变化的形式及过程;思考运动初始状 态时几何元素的关系，以及可求出的量,如图，在RtABC中，B=90，BC=5 ，C=30.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位
9、长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t0）.过点D作DFBC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果 能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，DEF为直角三角形？ 请说明理由.,例题讲解,（1）求证：AE=DF 解析：,A,t,2t,t,C,B,又AE=t，AE=DF。,在DFC中， DFC=90o，C=30o， DC=2t, DF=t,30o,（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出
10、相应的t值；如果不能，说明理由.,A,t,2t,t,C,B,解析：,能，理由如下，,ABBC，DFBC，,四边形AEFD为平行四边形。,由（1）知AE=DF,AE DF,在RtABC中， 设AB=x, 则AC=2x, ,解得x= 5 ,即AB= 5 ,AC=10.,若使平行四边形AEFD为菱形， 则须AD=AE，即t= 10 -2t, t= 即当t= 时，四边形AEFD为菱形。,30o,10-2t,（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.,A,t,2t,C,B, 若EDF=90o时，则四边形EBFD为矩形,30o,10-2t,解析,在RtAED中， ADE=C=30o ,AD=2AE,即10-2t=2t,t=,30o,当EDF=90o时,即10-2t= t,（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.,A,t,2t,C,B,当DEF=90o时,解析：,由（2）知EFAD,ADE=DEF=90o,A=90o-C=60o,AD= AE,则t=4,10-2t,30o,60o,（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.,当EFD=90o时, 此种情况不存在。,解析：,A,C,B,30o,在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。,小结,谢谢指导！,
