《初中常见动点问题解题方法.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中常见动点问题解题方法.ppt(24页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、初中常见动点问题解题方法,唐江红旗学校 张远强,引言,以运动的观点探究几何图形部分规律的问题,称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一,其特点是图形中的某些元素(点、线段、角等)或某部分几何图形按一定的规律运动变化,从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化,但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存,具有一定的规律可寻.,常见的动点问题,一、求最值问题 二、动点构成特殊图形问题,一、求最值问题,初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借
2、助的主要基本定理有三个: (1)两点之间线段最短; (2)三角形两边之和大于第三边; (3)垂线段最短。 求线段和最小值问题可以归结为:一个动点的最值问题,两个动点的最值问题。,一、求最值问题,例、如图,正方形ABCD的面积为12,ABE是等边 三角形,点E在正方形内,在对角线AC上有一动点P, 使PD+PE的值最小,则其最小值是 _,一个动点,特点: 已知两个定点位于一条直线的同一侧,在直线上确定一 动点的位置,使动点与两定点线段和最小,求出最小值。,思路: 解决这类题目的方法是找出其中一定点关于直线的对称点, 连结这个对称点与另一定点,交直线于一点,交点即为动点 满足最值的位置。,考题中,
3、经常利用本身就具有对称性质的图形,比如等腰三角形,等 边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形,即其中一个定点的对称 点就在这个图形上。,p,练习 1、如图,等边ABC的边长为4,AD是BC边上的中线, F是AD边上的动点,E是AC边上一点,若AE=2, 当EF+CF取得最小值时,则ECF的度数为( ) A15 B.22.5 C.30 D. 45 2、如图,在直角梯形中,ADBC,ABBC,AD=2, BC=DC=5,点P在BC上移动,当PA+PD取得 最小值时,APD中AP边上的高为 _ 3、如图,O的半径为2,点A、B、C 在O上,OAOB, AOC=60,P是OB上 的一动点,则P
4、A+PC的最小值是_,两个动点(一),特点:已知一个定点位于平面内两相交直线之间, 分别在两直线上确定两个动点使线段和最小。,思路:这类问题通过做这一定点关于两条线的对称 点,实现“搬点移线”,把线段“移”到同 一直线上来解决。,例、如图,AOB=45,P是AOB内一 点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点, 求PQR周长的最小值是_ 。,例、如图,AOB=45,P是AOB内一 点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点, 求PQR周长的最小值是_ 。,解析:,过OB作P的对称点,过OA作P的对称点,90,练习 1. 如图,已知AOB的大小为,P是AOB内 部的一个定点,且OP=2
5、,点E、F分别是OA、OB 上的动点,若PEF周长的最小值等于2,则=( ) A30 B.45 C.60 D.90 2. 如图,AOB=30,内有一点P且OP=2, 若M、N为边OA、OB上两动点,那么PMN 的周长最小为( ) A26 B.6 C. 6/2 D. 6,两个动点(二),特点:两动点在两条直线上,定点和其中一个动点共 线,求不共线动点分别到定点和另一动点的距 离和最小值。,思路:(1)利用轴对称变换,使不共线动点在另一动 点的对称点与定点的连线段上(两点之间线段 最短),例 、如图,在锐角ABC中AB=42,BAC=45,BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上 的动
6、点,则BM+MN的最小值是 _,(2)这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线时,两线段和最小,最小值等于这条垂线段的长。,例 、如图,在锐角ABC中,AB=42,BAC=45,BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上 的动点,则BM+MN的最小值是 _,解析:,作点N关于AD的对称点,此时BMMNBMM,则要满足: B,M, 三点共线,B 垂直于 AC,练习 1. 如图,在ABC中,C=90,CB=CA=4, A的平分线交BC于点D,若点P、Q分别是AC 和AD上的动点,则CQ+PQ的最小值是_ 2. 在锐角三角形ABC中,AB=4,BAC=60, BAC的平分线BC于D,M、N分
7、别是AD与AB 上动点,则BM+MN的最小值是 _ ,小结,以“搬点移线”为主要方法,利用轴对称性质求解决几何图形中一些线段和最小值问题。如何实现“搬点移线”,(1)确定被“搬”的点,(2)确定被“移”的线,二、动点构成特殊图形,问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系,或是找到变化中的不变量,建立方程或函数关系解决。,如图:梯形ABCD中,AD/BC, AD=9cm,BC=6cm,点P从点A出发, 沿着AD的方向向终点D以每秒一个 单位的速度运动
8、,当点P在AD上运 动时,设运动时间为t,求当t为何值 时,四边形APCB为平行四边形.,P,问题导入,P,解析,6,t,四边形APCB为平行四边形, AP=6 t=6,动点构成特殊图形解题方法,4、根据所求,利用特殊图形的性质或相互关系, 找出等量关系列出方程来解决动点问题,2、先确定特定图形中动点的位置,画出符合题意 的图形化动为静,3、根据已知条件,将动点的移动距离以及解决 问题时所需要的条件用含t的代数式表示出来,1、把握运动变化的形式及过程;思考运动初始状 态时几何元素的关系,以及可求出的量,如图,在RtABC中,B=90,BC=5 ,C=30.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位
9、长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t0).过点D作DFBC于点F,连接DE、EF. (1)求证:AE=DF; (2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果 能,求出相应的t值;如果不能,说明理由. (3)当t为何值时,DEF为直角三角形? 请说明理由.,例题讲解,(1)求证:AE=DF 解析:,A,t,2t,t,C,B,又AE=t,AE=DF。,在DFC中, DFC=90o,C=30o, DC=2t, DF=t,30o,(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出
10、相应的t值;如果不能,说明理由.,A,t,2t,t,C,B,解析:,能,理由如下,,ABBC,DFBC,,四边形AEFD为平行四边形。,由(1)知AE=DF,AE DF,在RtABC中, 设AB=x, 则AC=2x, ,解得x= 5 ,即AB= 5 ,AC=10.,若使平行四边形AEFD为菱形, 则须AD=AE,即t= 10 -2t, t= 即当t= 时,四边形AEFD为菱形。,30o,10-2t,(3)当t为何值时,DEF为直角三角形?请说明理由.,A,t,2t,C,B, 若EDF=90o时,则四边形EBFD为矩形,30o,10-2t,解析,在RtAED中, ADE=C=30o ,AD=2AE,即10-2t=2t,t=,30o,当EDF=90o时,即10-2t= t,(3)当t为何值时,DEF为直角三角形?请说明理由.,A,t,2t,C,B,当DEF=90o时,解析:,由(2)知EFAD,ADE=DEF=90o,A=90o-C=60o,AD= AE,则t=4,10-2t,30o,60o,(3)当t为何值时,DEF为直角三角形?请说明理由.,当EFD=90o时, 此种情况不存在。,解析:,A,C,B,30o,在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。,小结,谢谢指导!,