《2017年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法单元质量评估（含解析）新人教a版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法单元质量评估（含解析）新人教a版选修4-5（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲 证明不等式的基本方法单元质量评估(二) (90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知abc0,A=a2ab2bc2c,B=ab+cbc+aca+b,则A与B的大小关系是()A.ABB.Abc0,所以A0,B0,所以AB=aaaabbbbccccabacbcbacacb=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=aba-baca-cbcb-c.因为ab0,所以ab1,a-b0,所以aba-b1,同理aca-c1,bcb-c1.所以AB1,即AB.2.若实数x,y适合不等式xy1,x+y-2,则(
2、)A.x0,y0B.x0,y0,y0D.x0【解析】选A.x,y异号时,显然与xy1矛盾,所以可排除C,D.假设x0,y0,则x1y.所以x+y0,y0.3.(2016威海高二检测)使不等式3+81+a成立的正整数a的最大值是 ()A.10B.11C.12D.13【解析】选C.用分析法可证a=12时不等式成立,a=13时不等式不成立.4.设a0,b0,a+b=1,M=1a+1b+1ab,则M与8的大小关系是()A.M=8B.M8C.M0,b0,a+b=1,所以1=a+b2ab,所以ab12,所以1ab4.所以1a+1b+1ab=(a+b)1a+1b+1ab2ab21ab+4=8.所以1a+1b
3、+1ab8,即M8.当且仅当a=b=12时等号成立.5.(2016石家庄高二检测)已知ab,则不等式a2b2;1a1a中不成立的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选D.因为ab,a2-b2=(a-b)(a+b)符号不确定,即a2b2不一定成立;1a-1b=b-aab符号不确定,即1a1a不一定成立,故三个不等式不成立的个数为3.6.已知ABC中,C=90,则a+bc的取值范围是()A.(0,2)B.0,2C.1,2D.1,2【解析】选C.因为C=90,所以c2=a2+b2,即c=a2+b2.又有a+bc,所以10,则1a+1b+1c的值的情况为()A.一定是正数B.一定是负数C.可能是
4、0D.正负不能确定【解析】选B.因为实数a,b,c满足a+b+c=0,abc0,不妨设abc,则a0bc,1a+1b+1c=bc+ac+ababc=bc+a(c+b)abc=bc-a2abc0,b0,若P是a,b的等差中项,Q是a,b的正的等比中项,1R是1a,1b的等差中项,则P,Q,R按从大到小的排列顺序为.【解析】由已知得P=a+b2,Q=ab,1R=121a+1b=a+b2ab所以R=2aba+b;所以RQP.答案:RQP10.若T1=2sm+n,T2=s(m+n)2mn,则当s,m,nR+时,T1与T2的大小为.【解析】因为2sm+n-s(m+n)2mn=s4nm-(m+n)22mn
5、(m+n)=-s(m-n)22mn(m+n)0.所以T1T2.答案:T1T211.(2016湛江高二检测)若函数a,b满足a+b=1,则aa+1+bb+1的最大值是.【解析】aa+1+bb+1=a(b+1)+b(a+1)(a+1)(b+1)=2ab+1ab+2=2-3ab+2,则a+b=12ab知ab14,所以aa+1+bb+1=2-3ab+22-314+2=23.当且仅当a=b=12时,取最大值.答案:2312.(2016太原高二检测)已知abc,且1a-b+1b-cma-c恒成立,则实数m的最大值为.【解析】因为abc,所以a-b,b-c,a-c均为正数,(a-c)1a-b+1b-c=(a
6、-b)+(b-c)1a-b+1b-c=b-ca-b+a-bb-c+24,当且仅当|a-b|=|b-c|时取等号,于是1a-b+1b-c4a-c.所以m4.答案:4三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)设a,b,c为三角形的三边,求证:ab+c-a+ba+c-b+ca+b-c3.【证明】设x=b+c-a,y=a+c-b,z=a+b-c,则有a+b+c=x+y+z,a=12(y+z),b=12(x+z),c=12(x+y).此时,原不等式等价于y+z2x+x+z2y+x+y2z3.而y+z2x+x+z2y+x+y2z=12yx+xy+
7、zx+xz+zy+yz122yxxy+2zx+xz+2zyyz=3.所以原不等式成立.14.(10分)已知x,yR,且x1,y1,求证:11-x2+11-y221-xy.【证明】因为x1,y0,11-y20.所以11-x2+11-y22(1-x2)(1-y2).故要证明结论成立,只需证2(1-x2)(1-y2)21-xy成立,即证1-xy(1-x2)(1-y2)成立即可,因为(y-x)20,有-2xy-x2-y2,所以(1-xy)2(1-x2)(1-y2),所以1-xy(1-x2)(1-y2)0,所以不等式成立.15.(10分)(2016莱芜高二检测)已知函数f(x)=tanx,x0,2.若x
8、1,x20,2且x1x2.求证:12f(x1)+f(x2)fx1+x22.【证明】要证12f(x1)+f(x2)fx1+x22.即证:12(tanx1+tanx2)tanx1+x22,只需证明12sinx1cosx1+sinx2cosx2tanx1+x22,只需证明sin(x1+x2)2cosx1cosx2sin(x1+x2)1+cos(x1+x2).由于x1,x20,2,故x1+x2(0,),所以cosx1cosx20,sin(x1+x2)0,1+cos(x1+x2)0.故只需证明1+cos(x1+x2)2cosx1cosx2.即证1+cosx1cosx2-sinx1sinx22cosx1c
9、osx2.即证cos(x1-x2)fx1+x22.16.(10分)(2016盐城高二检测)已知x1,x2均为正数,求证:1+x12+1+x2221+x1+x222.【解题指南】直接证明不易找到切入点,可采用分析法或反证法完成证明.【证明】假设1+x12+1+x2221+x1+x222,两边平方得:(1+x12)+2(1+x12)(1+x22)+(1+x22)41+x12+x22+2x1x24.即(1+x12)(1+x22)1+x1x2.再两边平方得1+x12+x22+x12x221+2x1x2+x12x22,即x12+x220,b0,且a+b=1a+1b,证明:(1)a+b2.(2)a2+a2
10、与b2+b2不可能同时成立.【解题指南】(1)将已知条件中的式子可等价变形为ab=1,再由基本不等式即可得证.(2)利用反证法,假设a2+a2与b2+b2同时成立,可求得0a1,0b0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2ab=2,即a+b2.(2)假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a0得0a1,同理0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾,故a2+a2与b2+bcd,则a+bc+d.(2)a+bc+d是|a-b|cd,可证明(a+b)2(c+d)2,开方即得a+bc+d.(2)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.【证明】(1)因为(a+b
11、)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd.由题设a+b=c+d,abcd得(a+b)2(c+d)2.因此a+bc+d.(2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得a+bc+d.(ii)若a+bc+d,则(a+b)2(c+d)2,即a+b+2abc+d+2cd.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|c+d是|a-b|c-d|的充要条件. 在校园的时候曾经梦想去桂林，到那山水甲天下的阳朔仙境，漓江的水呀常在我心里流，去那美丽的地方是我一生的期望，有位老爷爷他退休有钱有时间，他给我描绘了那幅美妙画卷，刘三姐的歌声和动人的传说，亲临其境是老爷爷一生的心愿，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有时间的时候我却没有钱，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有了钱的时候我却没时间- 7 -
