《2017年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式课时提升作业（含解析）新人教a版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式课时提升作业（含解析）新人教a版选修4-5（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、基本不等式课时提升作业一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016泰安高二检测)若关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解,则实数a的取值范围是()A.(-,-80,+)B.(-,-4)C.-8,4)D.(-,-8【解析】选D.由方程9x+(4+a)3x+4=0有解,即a+4=-3x+43x-4,所以a-8.2.下列不等式的证明过程正确的是()A.若a,bR,则ba+ab2baab=2B.若x0,则cosx+1cosx2cosx1cosx=2C.若x0,则x+4x2x4x=4D.若a,bR,且ab0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()A.2B.3C.4D.5【解题指南】利用
2、基本不等式及“1”的代换求解.【解析】选C.因为直线过点(1,1),所以1a+1b=1,所以a+b=(a+b)1a+1b=1+1+ba+ab=2+ba+ab,因为a0,b0,所以2+ba+ab2+2baab=4,当且仅当“a=b=2”时等号成立.二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2016佛山高二检测)已知x+3y-2=0,则3x+27y+1的最小值是_.【解析】3x+27y+1=3x+33y+123x33y+1=7.答案:75.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是_.【解析】令ab=t(t0),由ab=a+b+32ab+3,则t22t+3,所以t3或t-1(舍去),所以a
3、b3,ab9,当a=b=3时取等号.答案:9,+)【误区警示】解答本题过程中易忽视a,b(0,+)而求出ab(-,19,+)的错误.三、解答题(每小题10分,共30分)6.求函数y=x2+5x+15x+2(x0)的最小值.【解析】原式变形得:y=(x+2)2+(x+2)+9x+2=x+2+9x+2+1,因为x0,所以x+20,所以x+2+9x+26,所以y7,当且仅当x=1时等号成立.所以y=x2+5x+15x+2(x0)的最小值为7.7.(2016银川高二检测)如图,已知小矩形花坛ABCD中,AB=3m,AD=2m,现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN,使点B在AM上,点D在AN上,且对角
4、线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2,AN的长应在什么范围内?(2)M,N是否存在这样的位置,使矩形AMPN的面积最小?若存在,求出这个最小面积及相应的AM,AN的长度;若不存在,说明理由.【解析】(1)设AM=x,AN=y(x3,y2),矩形AMPN的面积为S,则S=xy.因为NDCNAM,所以y-2y=3x,所以x=3yy-2,所以S=3y2y-2(y2).由3y2y-232,得2y8,所以AN的长度应在2,83或(8,+)内.(2)当y2时,S=3y2y-2=3y-2+4y-2+432(y-2)4y-2+4=3(4+4)=24,当且仅当y-2=4y-2,即y=4时,等号
5、成立,解得x=6.所以存在M,N点,当AM=6,AN=4时,矩形AMPN面积最小为24.8.已知x,y都是正实数.求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)8x3y3.【证明】因为x,y都是正实数,所以x+y2xy0,x2+y22xy0,x3+y32x3y30.三式相乘,得(x+y)(x2+y2)(x3+y3)8x3y3.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016聊城高二检测)已知a0,b0,则1a+1b+2ab的最小值为()A.2B.22C.4D.5【解析】选C.1a+1b+2ab21ab+2ab4.2.对于x0,2,不等式1sin2x+pcos2x16恒成立,则p的取值范围为()A
6、.(-,-9B.(-9,9C.(-,9D.9,+)【解题指南】可令t=sin2x,将原不等式转化为关于t的不等式恒成立问题求解.【解析】选D.令t=sin2x,则cos2x=1-t.又x0,2,所以t(0,1).不等式1sin2x+pcos2x16可化为p16-1t(1-t),令y=16-1t(1-t)=17-1t+16t17-21t16t=9,当且仅当1t=16t,即t=14时取等号,因此原不等式恒成立,只需p9.二、填空题(每小题5分,共10分)3.若a0,b0,a+b=1,则1a2-11b2-1的最小值是_.【解析】因为1a2-11b2-1=1-a2a21-b2b2=(1-a)(1+a)
7、a2(1-b)(1+b)b2=(1+a)(1+b)ab=1+a+b+abab=1+2ab.由a0,b0,a+b=1得aba+b22=14.所以1ab4,所以1a2-11b2-19.答案:94.已知x0,y0且满足x+y=6,则使不等式1x+9ym恒成立的实数m的取值范围为_.【解题指南】由已知条件先求得1x+9y的最小值,只要m小于等于其最小值即可.【解析】因为x0,y0,1x+9y=x+y61x+9y=1610+yx+9xy16(10+6)=83,当且仅当yx=9xy,又x+y=6,得x=32,y=92时取等号.所以m的取值范围是-,83.答案:-,83三、解答题(每小题10分,共20分)5
8、.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:a2b+b2c+c2a1.【证明】因为a2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c,故a2b+b2c+c2a+a+b+c2(a+b+c),所以a2b+b2c+c2aa+b+c=1.当且仅当a=b=c=13时取等号.6.已知a,b,x,yR+,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值为18,求a,b.【解析】因为x+y=(x+y)ax+by=a+b+bxy+ayxa+b+2ab=(a+b)2,当且仅当bxy=ayx时取等号.又(x+y)min=(a+b)2=18,即a+b+2ab=18,又a+b=10,由可得a=
9、2,b=8或a=8,b=2.【拓展延伸】基本不等式的应用技巧判断定值条件是应用基本不等式的难点和易忽略点,常见的方法有:(1)拆项、添项、配凑此法常用在求分式型函数的最值中,如函数f(x)=x2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1,可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑.(2)常值代换这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求1x+1y的最小值”和“已知ax+by=1(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两类题型.(3)构造不等式当和与积同时出现在同一个不等式中时,可利用基本不等式构造一个不等式,从而求出和或积的取值范围,如已知a+b=ab-3,求ab的取值范围,可构造出不等式2aba+b=ab-3,即(ab)2-2ab-30.在校园的时候曾经梦想去桂林，到那山水甲天下的阳朔仙境，漓江的水呀常在我心里流，去那美丽的地方是我一生的期望，有位老爷爷他退休有钱有时间，他给我描绘了那幅美妙画卷，刘三姐的歌声和动人的传说，亲临其境是老爷爷一生的心愿，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有时间的时候我却没有钱，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有了钱的时候我却没时间- 5 -
