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1、第二十三讲 锐角三角函数,一、三角函数的定义 在RtABC中,C=90,A,B,C 的对边分别为a,b,c,则 sinA= ,cosA= , tanA= .,二、特殊角的三角函数值,1,三、直角三角形中的边角关系 1.三边之间的关系:_. 2.两锐角之间的关系:_. 3.边角之间的关系:sinA=cosB=_,sinB=cosA=_, tanA=_,tanB=_.,a2+b2=c2,A+B=90,四、解直角三角形的应用 1.仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线 间的夹角,视线在水平线_的叫做仰角,在水平线 _的叫做俯角.,上方,下方,2.坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高
2、度h 和_之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母_表 示,即i=_;坡面与_的夹角叫做坡角,记作. 所以i=_=tan.,水平宽度l,i,水平面,3.方位角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90的角叫做方位角.,【自我诊断】(打“”或“”) 1.锐角三角函数是一个比值. ( ) 2.直角三角形各边长扩大3倍,其正弦值也扩大3倍. ( ) 3.由cos= ,得锐角=60. ( ),4.锐角的正弦值随角度的增大而增大. ( ) 5.锐角的余弦值随角度的增大而增大. ( ) 6.坡比是坡面的水平宽度与铅直高度之比. ( ) 7.解直角三角形时,必须有一个条件是边. ( ),考点一 求三角函数值 【
3、例1】(2017怀化中考)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sin的值是 ( ) 世纪金榜导学号16104353,【思路点拨】作ABx轴于点B,先利用勾股定理计算出OA=5,然后在RtAOB中利用正弦的定义求解.,【自主解答】选C.作ABx轴于点B,如图, 点A的坐标为(3,4), OB=3,AB=4, OA= =5, 在RtAOB中,sin=,【名师点津】根据定义求三角函数值的方法 (1)分清直角三角形中的斜边与直角边. (2)正确地表示出直角三角形的三边长,常设某条直角边长为k(有时也可以设为1),在求三角函数值的过程中约去k.,(3)正确应用勾股定理求第三条边长. (
4、4)应用锐角三角函数定义,求出三角函数值. (5)求一个角的三角函数值时,若不易直接求出,也可把这个角转化成和它相等且位于直角三角形中的角.,【题组过关】 1.(2017湖州中考)如图,已知在RtABC中, C=90,AB=5,BC=3,则cosB的值是 ( ),2.(2017金华中考)在RtABC中,C=90,AB=5, BC=3,则tanA的值是 ( ),【解析】选A.在RtABC中, 根据勾股定理,得AC= 再根据正切的定义,得tanA=,3.(2017滨州中考)如图,在ABC中,ACBC, ABC=30,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tanDAC的值为 世纪金榜导学号161
5、04354( ),【解析】选A.设AC=a,则AB=asin30=2a, BC=atan30= a,BD=AB=2a. tanDAC=,4.(2017泸州中考)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AEBD,垂足为F,则tanBDE的值是( ),【解析】选A.四边形ABCD是矩形,AD=BC,ADBC, 点E是边BC的中点,BE= BC= AD, BEFDAF, EF= AF,EF= AE, 点E是边BC的中点,由矩形的对称性得:AE=DE,EF= DE,设EF=x,则DE=3x, DF= tanBDE=,考点二 特殊锐角三角函数值的应用 【例2】已知,均为锐角,且满足 =0,则+=_.
6、 【思路点拨】根据非负数的性质求出sin,tan的值,然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数,进一步求和.,【自主解答】 =0, sin= ,tan=1,又,均为锐角, =30,=45,则+=30+45=75. 答案:75,【名师点津】熟记特殊角的三角函数值的两种方法 (1)按值的变化:30,45,60角的正余弦的分母都 是2,正弦的分子分别是1, 余弦的分子分别是 1,正切分别是,(2)特殊值法: 在直角三角形中,设30角所对的直角边为1,那么 三边长分别为1, ,2; 在直角三角形中,设45角所对的直角边为1,那么 三边长分别为1,1, .,【题组过关】 1.(2017天津中考)cos
7、60的值等于 ( ) 【解析】选D.由特殊角的三角函数值得cos60= .,2.(2016无锡中考)sin 30的值为 ( ) 【解析】选A.sin 30=,3.(2017六盘水中考)三角形的两边a,b的夹角为 60且满足方程x2-3 x+4=0,则第三边长的长是 ( ) 世纪金榜导学号16104355,【解析】选A.解方程x2-3 x+4=0,得x1=2 ,x2= , 假设a=2 ,b= ,如图所示,在直角三角形ACD中, CD= cos60= ,DB=2 - = ,AD= sin60= , AB=,4.(2015庆阳中考)在ABC中,若角A,B满足 +(1-tanB)2=0,则C的大小是
8、( ) A.45 B.60 C.75 D.105,【解析】选D.由题意得,cosA= ,tanB=1, 则A=30,B=45, 则C=180-30-45=105.,考点三 解直角三角形 【例3】(2016连云港中考)如图,在ABC中,C= 150,AC=4,tanB= . 世纪金榜导学号16104356,(1)求BC的长. (2)利用此图形求tan15的值(精确到0.1,参考数据: 1.4, 1.7, 2.2),【思路点拨】(1)过点A作ADBC交BC的延长线于D.由 ACB的度数ACD的度数AC=4AD的长CD的长 tanB= BD的长BC的长. (2)在BC边上取M,使CM=AC,连接AM
9、AMC=MAC= 15tan 15= 化简得结论.,【自主解答】(1)过A作ADBC,交BC的延长线于点D,如图1所示:,在RtADC中,AC=4,ACB=150,ACD=30, AD= AC=2, CD=ACcos30=4 在RtABD中,tanB= BD=16, BC=BD-CD=16-,(2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,如图2所示: ACB=150, AMC=MAC=15, tan15=tanAMD= 0.270.3.,【名师点津】解直角三角形的类型及方法 (1)已知斜边和一个锐角(如c,A),其解法: B=90-A,a=csinA,b=ccosA(或b= ). (2)
10、已知一直角边和一个锐角(如a,A),其解法: B=90-A,c= ,b= (或b= ).,(3)已知斜边和一直角边(如c,a),其解法:b= , 由sinA= 求出A,B=90-A. (4)已知两条直角边a和b,其解法:c= ,由tanA= 得A,B=90-A.,【题组过关】 1.(2017烟台中考)在RtABC中,C=90,AB=2, BC= ,则sin =_. 【解析】在RtABC中,C=90,AB=2,BC= , sinA= ,A=60,sin = . 答案:,2.(2017广州中考)如图,RtABC中,C=90, BC=15,tanA= ,则AB=_. 世纪金榜导学号16104357,
11、【解析】因为BC=15,tanA= ,所以AC=8, 由勾股定理得,AB=17. 答案:17,3.(2016上海中考)如图,在RtABC中,ACB=90, AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DEAB,垂足为点E,连接CE,求: 世纪金榜导学号16104358 (1)线段BE的长.(2)ECB的余切值.,【解析】(1)AD=2CD,AC=3,AD=2. 在RtABC中,ACB=90,AC=BC=3, A=45,AB= DEAB,AED=90,ADE=A=45, AE=ADcos45= . BE=AB-AE=2 ,即线段BE的长是2 .,(2)过点E作EHBC,垂足为点H, 在RtB
12、EH中,EHB=90,B=45, EH=BH=EBcos45=2,又BC=3,CH=1. 在RtECH中,cotECB= 即ECB的余切值 是 .,考点四 解直角三角形的应用 【考情分析】 利用解直角三角形解决实际问题是各地中考的热点,这一类题的题型通常以解答题为主,利用直角三角形求物体的高度(宽度),解决航海问题等.,命题角度1:利用直角三角形解决和高度(或宽度)有 关的问题 【例4】(2017鄂州中考)小明想要测量学校食堂和 食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M处出发,向 前走3米到达A处,测得树顶端E的仰角为30,他又继 续走下台阶到达C处,测得树的顶端E的仰角是60,再继续向前走到大
13、树底D处,测得食堂楼顶N的仰角为45.已知A点离地面的高度AB=2米,BCA=30,且B,C,D三点在同一直线上.,(1)求树DE的高度. (2)求食堂MN的高度.,【思路点拨】(1)先在ABC中求AC的长,再求出ACE=90,在ACE中求CE的长,最后在CDE中求DE的长. (2)延长NM交BC于点G.先求GB,BC,CD的长,得到GD的长,再在DNG中求NG的长,最后求MN的长.,【自主解答】(1)由题意,得AFBC. FAC=BCA=30. EAC=EAF+CAF=30+30=60. ACE=180-BCA-DCE =180-30-60=90.,AEC=180-EAC-ACE =180-
14、60-90=30. 在RtABC中,BCA=30,AB=2, AC=2AB=4. 在RtACE中,AEC=30,AC=4, EC= AC=4 .,在RtCDE中,sinECD= ,ECD=60,EC=4 , sin60= ED=4 sin60=4 =6(米). 答:树DE的高度为6米.,(2)延长NM交BC于点G,则GB=MA=3.,在RtABC中,AB=2,AC=4, BC= 在RtCDE中,CE=4 ,DE=6, CD= GD=GB+BC+CD=,在RtGDN中,NDG=45, NG=GD=3+4 . MN=NG-MG=NG-AB=3+4 -2 =(1+4 )米. 答:食堂MN的高度为(1+4 )米.,命题角度2:利用直角三角形解决航海问题 【例5】(2017十堰中考)如图,海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?,【思路点拨】作ACBD于点C,设AC=x海里,由三角函数计算BC,CD的长,进而求得AC的长,通过比较AC的长度与8海里的大小关系进行作答.,【自主解答】作ACBD于C,由题意知ABC=30, ADC=60,设AC=x海里,则BC= x海里
