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1、 6 0 8 中国卫生统计 2 0 0 9年 1 2月第 2 6卷第 6期 排 队论模型 M D c 在 医疗服务系统中的应用 华 中科技大学公 共卫 生学院流行病与卫生统计学系( 4 3 0 0 3 0 ) 周文正 尹 平 马玉全 刘少础 周 俊冯 聪周爱平 林嵩艺 排队论 ( q u e u i n g t h e o r y )， 又称随机服务系统理 论， 是通过研究各种服务系统在排队等待现象 中的概 率特性 ， 从而解决系统最优设计与最优控制的一 门学 科， 是运筹学的一个重要分支 。它广泛应用 于各种 服务系统 ， 如公共服务系统、 通信系统、 运输 系统等。 近年来 ， 排队论在医
2、疗服务领域的应用越来越受到重 视。当前我国医院的排队现象如挂号、 就诊、 检查 、 交 费等， 一直比较严重。面对医疗资源相对有限， 而需求 过剩的问题 ， 如医院能有效利用排队论 ， 则能为提高医 疗服务效率和优化医疗资源配置提供有益的参考 J 。 根据近年的研究和评测 ， 对于同时满足患者到达 服从泊松输入过程， 服务时间满足负指数分布 ， 即符合 基于生灭过程的模型 M M c ， 主要应用在医院门诊和 急诊治疗排队等方面 。对于门诊 挂号、 窗 口交费、 常规体检、 器械检查等服务时间基本一致的情形 ， 该模 型有一定局 限性 ， 此 时 M D c模型更适用。本文 以 武汉某大型三甲
3、医院动态心电图室的长程心电图仪的 排队系统为例 ， 具体说明 M D c排 队模型在 医疗服 务 系统 中的应 用。 长程动态心电仪在心脏病检查中的作用很大 ， 近 年来应用越来越多， 但因设备价格昂贵 ， 只有大医院少 量配备 ， 故而需求矛盾显著。该 医院动态心电图室有 l 5台动态心 电图仪 ， 几乎每天都是爆满， 排队做这个 检查的病人很多， 有时发生延误了治疗的情况 ， 造成了 不 良的影响。研究观察他们的工作状态 ， 为是否需要 增添设备， 具体数 目是多少 ， 以达到最小成本和最大效 果的平衡， 做一个科学的分析。 排队模型的基本结构简介 一 般的排队系统由四个部分组成 ， 包括
4、顾客源、 队 列、 排队规则和服务机构 j 。排队模型根据输入过 程、 排队规则和服务机构的不 同， 分为很多类别 ， K e n d a l l 记号表示为 Y Z A B C 。 1 顾客源 普通人群都作为顾客源 ， 通常假设顾客源为无限。 一 般来说， 顾客到达是随机的， 相互独立的， 相继到达 的间隔也是随机的， 除非特殊安排 ， 通常顾客到达过程 通讯作者 ： 尹平 服从 P o i s s o n流。即到任一时刻到达的患者数都是参 数为 A f ( A为平均到达率 ， f 为时间) 的泊松分布。等 价的假设为依次到达者的间隔时问的概率分布为负指 数分布。 2 队列 顾客在等到服务前
5、等待 的人数， 队列以其能容纳 的最大顾客数量为标志， 分为无 限队长和有限队长。 队列的数 目可是单列， 也可是多列的。 3 排队规则 一 般分为三类： 损失制 、 等待制、 混合制。等待制 中顾客不会因为排 队太长而轻易离去。等待中可以是 先到先服务 ， 随机服务 ， 或者按照某种优先规则等。 4 服务机构 服务机构是顾客接受服务的设施 ， 称为服务台。 服务台对一名顾客服务开始到结束消耗的时间称为服 务时间。服务时间有很多种概率分布， 具体如下。 ( 1 ) M： 负指数分布 ( 马尔科夫性质) 。要求顾客 接受服务的时间是独立同分布的 ( 2 ) D： 等长分布 ( 退 化分布) 。要
6、求顾客接受服 务的时间基本为某个固定的常数 ， 差别不大。 ( 3 ) E k ： E r l a n g分布 ( 形状参数 为 k ) 。要求顾客 接受服务的时间介于 M 分布和 D分布之间。 ( 4 ) G： 一般分布( 各种任意分布均可) 。应用 中， 得知要求顾客接受服务的时问的均值和方差即可。 研究对象和资料来源 本文选取 2 0 0 8年全年到武汉某医院做动态心电 图检查的患者为研究对象 ， 建立排队系统。以患者到 达登记等待为标志 ， 进入排队系统 ， 队长为无限。患者 按照先到先服务的原则 ， 依次排队佩戴仪器接受检查。 佩戴完毕回到医院交还设备表示服务完成， 离开排队 系统。
7、 数据资料来源于该医院心功 能室 2 0 0 8年全年的 详细记录。对于时间处理 ， 全年以工作 日计算 ， 每周 5 天。周末和节假 日期间来院检查动态心电图的病人很 少 ， 基本没有 出现过排 队现象 ， 这些患者不纳入模型。 除去周末两天和春节、 国庆 、 五一节假 日， 剩余共 2 5 0 天。同时每天按 8小时工作时问计算 ， 下班和晚上的 排队等待时间不予计算。 Ch i n e s e J o u r n a l o f He a l t h S t a t i s t i c s De c 2 o o 9 VO 1 2 6 No 6 模型计算过程与方法 1 模型拟合 患者到达相
8、对满足泊松 分布的条件 。( 1 ) 独立 性 ： 任一时段的患者到达数不受前一时段 的影响 ； ( 2 ) 平稳性 ： 某时段 内， 患者到达是相对均匀 的； ( 3 ) 稀有 性( 普通性) ： 瞬时时刻只可能有一位患者到达。泊松 分布过程也较好地拟合了绝大多数情况下患者到医院 的状态。其在 f 时段内到达 F 个顾客的概率为 p ( f ) ： 、 J、 n P ( f )= e ， z = 0 ， 1 ， 资料整理后 ， 病人到达的记录列于表 1 。 表 1 患者到达的分布 每天病 人数 出现频数 理论频数 = ( 例 ) ( ， 0 ) “T：n P ( T一 ) T 由表 1可知，
9、 病人平均到达率 A= ： 1 2 6 ( 人 天) 。卡方检验 ：6 3 3 4 3 ， 自由度 d f=1 2 ， P=0 8 9 8 3 ， 表 明病人到达的分布服从 A=1 2 6的泊 松分布 ， 有统计学意义。即患者依次 到达 的间隔时间 的概率分布为负指数分布 M。 按诊断要求， 病人需佩戴长程心电图仪 2 4小时。 按医院多年经验 ， 前后处理和延误需约 1 小时， 故病人 完成检查的时间为全天 2 4小时加工作时间的 1 小时。 本文计整个检查时间为 1 1 2 5天 ， 差异近视 为零。即 服务时间服从 D=1 1 2 5 ( 天) 的等长分布 ， 平均 服务 率 =1 D=
10、 0 8 9 ( 人 天 ) 。 该 医院 2 0 0 8年有 1 5台动态心电图仪 ， 工作 中相 互独立 ， 即服务台 C=1 5 。综上， 该排队系统符合排队 论 中 M D c排队模型。 2 标准指标和计算方法 排 队论模型主要集中研究系统处于稳定状态下的 数量指标。当顾客平均到达率小于顾 客平 均服务率 时， 系统才能达到平稳状态。系统处于平衡状态时， 数 6 0 9 量指标的分布等与时间无关， 便于求解。 主要术语和指标 】 ： P 一系统中有 个顾客的概率 ； 队长 一系统中的顾客总数； 排队长 。 一 队列 中正在排队等待的顾客数 ； 逗留时间 顾客在系统中的停 留时间； 等待
11、时间 顾客在队列中的等待时间； A 一系统中新顾客的平均到达率 一 整个系统的平均服务率 p 一服务强度 ， 即服务设施 的利用 因子 ， 是平均到 达率与平均服务率之 比p= A 。 相互关系的 L i t t l e 公式 ： L =A L =A = + L = + 3 M D c 模型的计算求解 排队模型如 M M c ， M G 1 ， M E k 1的原理、 应用条件和计算方法在运筹学的排队论教材 中有详细 的阐述。M D c模型的求解国内尚无文献介绍 ， 在国 外关于排队论的著作中有详细说 明， 本文仅略为介绍 基本求解过程 。 该排 队系统整个 服务机构 的平 均服务率 为： (
12、 当 n c ， n为 自然数) ， 和 ( 当 ， z c ) ； 记 p=A c l ， 为服务系统的平均利用率。当p1 时 ， 不会排成无限 队列 ， 系统平均到达率等于离去率 ， 达到平衡状态。 设系统 中稳定状态下 ， 在 时间 有 个顾客 的概 率为 P ， ， 则 P j = e AD 毫+ c+j 即 ， J ： =0 =c+l J n 0 ： 且 = 1 ， = 0 ， 1 ， 2 ， 。 根据 L i t t l e 公式 ， 满足如下关 系 + c 1 一 ) = A D ：0 =u 令尸 ( z ) = ， I z l l ， 得到 P ( z ) = e P + p
13、k e 。 ( X D) 一 ( k+C ) ! 根据模型的条件， 可以变换得到 ( 一 ) P( z ) = 巅 Z - Zk 对以上方程直接做快速傅里叶转换 ( P P T) ， 能够 方便解得 。然后根据具体数据解得的 P j ， 可以通过 如下公式计算出队列长 ： 南( 【 ( cp ) 一 c ( c 一 ) ) c l + c ( c 一 1 ) - j ( j 一 1 ) 】 同时， 可以计算得 出在时间 ， 顾客在队列中的平 均等待时间 引： 、 一 k e -1 W ( 二 ! q( O,t c - 1 _ y e - , ( k D - x ) 业 ， ( k 一1 ) D
14、 k D 其中， = P ，J = 0 ， 1 ， 2 ， ， k = 0 ， 1 ， 2 ， 由解得的 和 Wq ， 根据 L i t t l e公式 ， 其他指标就 可以计算出来了。 T I ： ； = - _ 、 K s I , 几 对于常用排队模型的计算 ， 用统计软件如 MA T L A B可以实现求解。本文的实例 由软件 Me Q u e u e 9 】 实现， 它由美国耶鲁大学著名运筹学教授 He n k T ij ms 编译 ， 发布在网上供人免费使用。排 队论模型在医疗 服务系统中的应用能够推广 ， 也得益于其能够通过计 算机软件方便地实现 。 结果 分析 应用 M D c模
15、 型 的计算 公式 ， 通 过软 件 MC Q u e u e ， 得到各项指标结果列于表 2 。为给医院增添设 备提出建议 ， 假设了 C =1 6 ， 1 7 ， 1 8 ， 1 9 ( 台) 的情形并求 解 。 表 2 计算结果 由表 2可知 ， 该院在有 l 5台动态心电图仪的情况 下， 系统9 4 5 的时间繁忙， 新到病人平均等待的概 率为0 7 4， 且平 均每天有 6 7位病人在 系统 中等待 ， 中国卫牛统计 2 0 0 9年 l 2月第 2 6卷第 6期 平均等待时间为 3 8小时， 确实存在很大的拥挤现象。 预测当增加仪器到 l 6台时， 平均每天只有 2 2位病人 排队， 拥挤情况大为改善。当增加到 l 7台时， 平均等 待时间仅为 1 1 2个小 时。当增加到 l 8台时， 病人前 来等待的概率只有 0 2 1 ， 平均队长仅 0 5人， 等待时 间也不足半个小时， 基本解决 了排队拥挤的情形。当 增加到 l 9台时 ， 相比 1 8台， 改善不大明显 ， 相对成本 来说 ， 没有增加的必要。综合分析 ， 根据医院目前病人 平均到达率高达 1 2 6 ( 人 天) 的情况 ， l 8台动态心电 图仪配置较为合理 ， 建议
