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1、第一章 李群的概要 1.1连续群和李群1.11从离散群到连续群,群的分类（从元素的数目及分布角度）,群,ex:复数集合： ：,可用群的四条定义规则来检验：）,显然： U(1)群是阿贝尔群 由连续变化, U(1)群的元素个数是不可数的，它是连续群，并且它具有以下特征：）U(1)群的每一个元素都可用参数来标志，参数连续变化）乘积元数g()g()所相应的参数+是参数和的连续函数）逆元g()-1的参数也是的连续函数。,1.1.2 群的参量和连续群,群中各元素可看作某个抽象空间（群空间group space）中的一个点集（群流形group manifold）。 群中的每个元素都可以唯一地用一组数（参数）
2、 来表示元素与参量之间成一一对应的关系。 ex. U(1)群中元素的参量就是 SO(2)群元素 参量为,Def. 表示群元素所需要的最少数目的（实）参量称为必要参量（essential parameteis）ex. 若将一维平移群表示为： 这变换中的参数，就不是essential。,Def 若连续群的元素由r个必要参量决定： 则该群称为r阶连续群（r-parameter continons group），r称 为群的阶。在离散群中（包括现在的无限离散群）的必要参量只有一个。 ex ，整数二维平移群Tmn： 其中m，n为整数。,图中每点代表一个群元素。各元素（m,n）的编号如中所示只需要一个参量
3、（红色编号）。,群 的单位元素记作： 则 通常取 ，即,逆元素： 群的逆元素存在要求对任意的群参数，均有参数 存在， 使得 即群元素的逆元素的参数 与群元素参数有关系； （*）,封闭性： 由群的封闭性要求对任意的群参数和，必有群参数存在，使得： 因此，实参数必定是实参数和的函数： or （*） 这些函数称为群G的结合函数。结合律： 结合律要求 于是结合函数应满足：,Def.1 如果 和 式中的函数 f 和 均是其变量的连续函数，则称群G为连续群。,Def.2 如果函数 f 和 是其变量的解析函数（对各个变量具有任何阶的导数），那么群G称为李群（Lie group）。 （注： f 解析，则 g(
4、) 也解析） 对于李群，函数 f 和 均可按它们的自变量展为一致收敛的泰勒级数。,Def. 若连续群的参量的数目r为有限，则该群称为有限连续群（finite contions group）,Def. 若表示连续群的参量均在一个有界区域内变化，且该区域为闭区域，则该群称为紧致的（compact）。,Def. 若对应于连续群中的两个群元素 与 的参量所定义的距离 则称这两个群元素互相趋近，记作： or ,1.1.3 李群,定义为连续群中，f 和 为解析函数。因此，李群是连续群的一种。U(1)Lie group（1阶）。,一、r个参量的变换李群（r阶）设变换为：记为,该变换的总体构成一个群逆元：逆元
5、存在要求即由（）式可解出xi，条件为雅可毕行列式不为零：,（）,封闭性：要求：其中参数 上式可写成对于变换李群， 是它的绪变量的无限次可微函数李群的独立参数有r个，则该李群的阶就是r 例如：U(1)为一阶李群Def. 群参数变化的范围简称为群参数空间 ex, u(1),二 李群的例子,1G：单位元：逆元素：封闭性：2G：单位元:逆元：封闭性 显然1和 2是连续任意阶可导。,3,4n维正交群O(n)先看二维(实)正交群O(2)，在O(2)的变换下，保持实二维空间中矢量长度不变，即当 时，有 or 要保证矢量长度的不变，即 必有 同理证出由此，二阶矩阵A= 中的4个参量受到三个关系式的限制 O(2
6、)是一个单参数李群,三个限制条件：,对于纯空间转动 detA=+1纯空间转动群记为SO(2)，它的群元素为一个矩阵：且SO(2)是O(2)的一个子群。因为反演SO (2)是单参数的阿贝尔群，SO (2)与U (1)同构。注意：高维转动群则是非阿贝尔群。n维正交群O(n)实n维空间的线性变换群。它保持 不变。即其中：A为n阶实矩阵 矩阵A的n2个实参数受到 个条件的限制,满足, n维正交群O(n)是 阶李群，记作：其中GL(n,R)代表n维空间中的一般线性变换群。另外： O(n)的子群SO(n) (A SO(n);detA=+1) 代表n位维实空间中的纯转动根据陪集定理和拉格朗日定性，O(n)按
7、子群SO(n)作陪集分解：其中 为空间反演矢矩O(n)中行列式为-1的部分代表转动反演。,Complex space 复空间,5n维么正群二维复空间中，线性变换的22复矩阵U如果满足条件： uu+=u+u=I 这样的变换的总体构成二维么正群U(2)，U(2)的任一变换使二维复空间中的矢量的内积保持不变，记作对n维复空间的么正群U(n),这是一个n2个实参数李群,n维复空间中的一般线性变换群,约束条件，可由二维复空间去验证,6n维特殊么正群SU(n) 二维复空间中，特殊么正群 称为二维么模么正群，（么模 ） SU(2)是U(2)再加上条件 ，故SU(2)是3个实参数的李群。 对n维复空间的特殊么
8、正群SU(n)为： 这个群有n2-1个独立实参数。,1.2李群的连通性,1.21连通性Def. 如果群G的参数空间中任意两点均可用此空间中的一条连续曲线（道路）把它们连接起来，则称群G是连通的，否则就是不连通的。,disconnected group,connected group,Def. 若连通区域可作几条线互相之间不能用连续变形的办法，从一条变到另一条，则称为几次复连通区域。,若n=0，则称为单连通区域。,单连通,参数空间中有一个参数是使detA=+1变到detA=-1，这个参数将整个参数空间分成两叶,1.22举例ex.1 三维正交群O(3)O(3)是三参数李群，设AO(3)，则 det
9、A=1 因此，O(3)的群参数空间分为不相连结的两叶，它们分别对应于detA=+1和detA=-1，因此，无法用属于参数空间的曲线连结这两叶，故O(3)群是不连通的但SO(3)对应于detA=+1，是连通的,O(3) = O() O() O()，是绕三根轴的转角,解释O(2)群：令令为反演矩阵，则det(A)=1,而det B=-1,ex.2,二维特殊么正群SU(2) uu+=u+u=1 det u=+1考虑二介复矩阵 么正条件u+=u-1 给出 a=d*, b=-c*由么模条件det u=ad-bc=1 得 |a|2+|b|2=1令 由此可见，SU(2)的群参数空间由上式确定，它是一个四维球
10、面，此球面是单连通的。 SU(2)为单连通李群。,1.23 紧致性Def. 如果李群的参数空间是闭而有界，则称它为紧致李群。例：一维 区间（1， 1）开区间 区间 1， 1 闭区间ex. n维正交群O(n)是紧致群证：如果AO(n) ，则 即 取k = l，得对所有的i,k均为|Aik|1,因此O(n)是有界的。显然，它的参数空间是闭的。它是紧致群还有，容易证明：SO(n), U(n), SU(n)都是紧致李群但U(1)是非紧致李群,1.3李群的生成元,李群的各元素可用一组实参数来标志，当参数作连变化时，就对应于李群中诸元素的相继变更。因此，研究李群的性质，只需弄清它在单位元附近的性质就够了，
11、（e=g(0)是人为取的） 其中称为李群G的无穷小生成元，or：李群生成元。对r阶李群，有r个线性无关的生成元Xk，虽然它们仅在群的单位元附近给出，但由生成元可导出整个李群的性质，即群的任一有限元素都可以由生成元来表达。,ex.1 SO(2) 二维旋转群的群元素可写为：SO(2)的生成元X为如把不发生变化的Z分量考虑进去，旋转矩阵为：对应R()的生成元它就是轨道角动量的Z分量，JZ也叫生成元,ex.2 GL(2,R) 二维实空间的一般线性变换阵为：它的生成元为： 同理,它们满足对易关系：,ex.3 SU(2)=u:uU(2), det u=+1二维么模么正 群。设u=1+a() 无究小参数对应的群元由么正条件uu+=1得即 a为反厄米矩阵令 u=1+ib()由么模条件 det u=1有 j不一定等于1，2，对SU(n)也成是 trace(b)=0,
