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1、余弦定理新的证明探讨摘 要余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，是解决数理学科和前沿科学领域中相关问题的一种有效的重要方法。它是代数学中的重点和难点，在解决三角问题、函数问题等方面发挥了重要的作用。国内外有关余弦定理证明的探讨和应用及其推广的研究非常多，涉及范围很广，说明了其重要性和应用的广泛性。国外对余弦定理的证明与应用的研究主要是由于前沿科学领域及实际生活发展的需要，在教学中寻求新的证明探讨涉及甚少，而国内在寻求其新的证明探讨与应用方面的研究甚为广泛。但余弦定理新的证明方法及推广与应用仍有值得研究的问题。比如：余弦定理通常用于求解三角函数问题，而其用途不仅仅限于此，如：余弦定理证明在数学
2、教学、数学分析、立体几何中的应用等。但是针对余弦定理在应用中存在的局限性，是否能探究其新的证明方法，并将其做相应的推广来解决相关问题，扩宽其应用的范围，使得在运用余弦定理解决代数问题和几何问题方面更加实用方便，这就是文章探讨的问题所在，这样的研究在国内外相对较少。基于已有的余弦定理若干要点的探讨和应用，本文在前人研究的基础上，漫谈了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代数与几何中的新的证明，分别给出了不同形式的余弦定理新的证明方法，并对其做出了相应的推广，体现了其不同证明方法的新颖性和优越性.关键词：余弦定理；勾股定理；证明；定理；推论目 录1 引言12 文献综述12.1国外研究现状12.2国内
3、研究现状12.3国内外研究现状评价12.4提出的问题23 余弦定理的数学思想史略23.1三角学的确立与发展状况23.2余弦定理的由来24 余弦定理及其新的证明34.1关于余弦定理的注记34.2余弦定理新的证明54.2.1从几何角度直观证明余弦定理54.2.2角余弦定理的证明与应用74.2.3证明余弦定理又一方法94.2.4立体几何的余弦定理及其证明104.2.5 n维余弦定理的新证明135 总结155.1 主要发现155.2 启示155.3 局限性165.4 努力方向166 参考文献161引言 余弦定理的证明及推广应用的发展历程在三角函数、立体几何等数学领域已经凸显出巨大的潜在价值，关于它的研
4、究，已有许多独特而新颖的硕果。余弦定理通常应用于三角问题、函数问题、几何问题及数理天文学问题等方面的求解，国内和国外的研究各有其独到之处。现有对余弦定理的证明方法的探讨及推广应用，体现了其重要性和应用的广泛性，如：余弦定理证明在中学数学教学、数学分析、立体几何中的应用等等。但是针对余弦定理在应用中存在的局限性，是否能探究余弦定理的新的证明方法，并将其做相应的推广应用来解决相关问题，这样的研究值得深入探究.基于对已有的余弦定理若干要点的探讨和应用，本文在前人研究的基础上，漫谈了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代数与几何中的新的证明，分别给出了不同形式的余弦定理新的证明方法，并对其做出了相应的推
5、广应用，体现了其证明与应用的新颖性和优越性.2 文献综述 2.1国外研究现状 国外对余弦定理的研究主要是应用于解决数理天文学和其他学科如测量学与地理学方面的问题，而在教学上探讨新的证明则很少涉及 .天文学家阿尔.巴塔尼的天文论著（又名星的科学）被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果.在该书中阿尔.巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切；发现球面三角形余弦定理，继而为平面三角形的重要定理 正弦定理和余弦定理的发现奠定了基础，其证明的思想方法具有一定新颖性,值得借鉴. 2.2国内研究现状 国内有关余弦定理的理论从国外引进，在立体
6、几何、双曲平面上以及现实生活中发挥了重要的作用，国内余弦定理很少谈及学科领域的相关证明问题，但相关的应用有一定发展。 如：王书在其编写的数学解题方法与技能中较详细地阐述了利用三角法进行复数的乘方计算，先把复数写成三角函数式后，角按公式（n是正整数）计算比较容易；刘鸿坤、曾容、李大元等编著的中、美历届数学竞赛试题精编第三十二届美国中学数学竞赛试题（1981年）中的第24题的应用，将超越方程利用三角函数式转化为复数形式求解，说明了余弦定理在数理学科领域的重要性.2.3国内外研究现状的评价 上述文献中已给出了余弦定理相关的探讨和应用，说明了余弦定理的重要性和应用的广泛性，但其还有值得研究的空间和余地
7、. 在余弦定理证明与应用方面的研究国内相对于国外的研究较广泛,而且很多研究问题及结论有很好的借鉴价值,可以作为研究的理论基础；而国外,更多的研究主要在于将余弦定理应用于解决前沿学科（如数理天文学、历法、航海等）的问题.但在学科领域的不同方面能否得到余弦定理的不同的新的证明方法，从而提高余弦定理在理论研究中的有效性，这方面的研究较少.2.4提出问题鉴于国内外的研究现状，一般的余弦定理的证明不仅只能解决前沿学科中的数理问题，而且该定理在证明运用中有一定的局限性，那么能否弱化余弦定理的局限性，拓宽余弦定理的证明方法的范围，或者将余弦定理新的证明进行推广对教学方法的启示，从而体现余弦定理新的证明的优越
8、性和应用的广泛性，本文针对此类问题作详细探讨.3 余弦定理的数学思想史略3.1三角学的确立和发展概况“三角学”原意是三角形测量,也就是解三角形，这是三角学的基本问题之一.后来范围逐渐扩大, 发展为研究三角函数及其应用的一个数学科目.三角学的发展和天文学、几何学有着不可分割的关系，国外对三角学的研究的起源是计算数理天文学方面的精确问题。而正、余弦定理是三角学建立的基础，三角学的确立是以正、余弦定理为标志，因为三角学是寻求边与角的关系来解决三角问题, 正、余弦定理正是把边与角建立起联系.三角学的发展经历从脱离天文学而独立，到以欧拉的无穷小分析引论为代表的过程，标志着三角学从研究三角形解法进一步转变
9、为研究三角函数及其应用的一个分析学的分支。 希腊三角学起源于天文学的定量研究,由于球面几何方面的研究的需要，从而球面三角学便开始萌芽。随着生产不断进步,为了修订历法、航海和研究地理, 需要建立定量的天文学, 便产生了三角学的雏形. 其代表人物有希帕克、托勒密和梅内劳斯, 在梅内劳斯时期达到顶峰. 由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的苏利耶历数全书等天文历表，以及希腊希腊托勒玫的大成、梅内劳斯的球面学等古典著作。阿拉伯三角学是在印度天文名著的基础上发展的, 揭示了三角量的性质及其关系, 给出了平面三角形和球面三角形的全部解法, 并制造了一系列的三角函数表
10、.三角学通过阿拉伯学家的工作逐渐从天文学中分化出来发展成为一门独立的学科。其主要的代表人物有阿尔.哈巴士、阿尔.巴塔尼、阿布尔.威发、阿尔.毕鲁尼和纳速.拉丁欧洲三角学是在阿拉伯数学家纳速.拉丁论四边形著作的基础上研究的, 将平面三角、球面几何和球面三角有机地结合起来, 制定更精确的三角函数表,以至于我们现今仍在使用, 使三角学进一步系统化, 成为一个独立的数学分支, 从而确立了三角学. 由此, 三角学在天文学及其他学科如测量学方面得到广泛的应用. 其代表人物有雷基奥蒙坦、雷提卡斯、韦达.3.2 余弦定理的由来 平面三角的余弦定理是在欧几里得的原本中间接地提出来,平面三角的余弦定理的确立和运用
11、是随航海学和地理学的发展, 而平面三角学是在球面三角学的研究的基础上提出的。随着测量耕种土地的面积、测量长度与测量方位及历法和航海发展等实际的需要，希腊三角学（球面三角学）中包括平面三角的基础内容, 平面三角的重要定理正弦定理和余弦定理在此条件下产生.其数学思想方法和思路如下: 图 1分析：如图1，ABC三边CB、CA、AB长度为a、b、c，首先将斜三角形分割成两个直角三角形,再由勾股定理即可证得余弦定理.证明：在和中，根据勾股定理 ， 即 (1) 在中， (2)将（2）带入（1）中，.阿拉伯数学家阿尔.巴塔尼在进行球面三角研究过程中, 利用平面三角的知识来证明球面余弦定理, 他的方法是通过作
12、出斜三角形某一个边上的高之后, 将问题转化为求直角三角形的解,他研究出余弦定理的结果应用到证明球面三角边的余弦定理.十五世纪前叶，阿拉伯数学家阿尔.卡西给出了平面三角的余弦定理的下述形式:.韦达在1593年给出了平面三角的余弦定理的下述形式:.期内尔在1627年给出了平面三角的余弦定理的下述形式:4余弦定理及其新的证明 4.1关于余弦定理的注记余弦定理的证明是运用“向量相乘”的方法进行的，其可化复杂为简便，其是向量式与数量式之间相互转化的常用方法。余弦定理的结论及其证明如下： 在ABC中，AB、BC、CA的长为c、a、b，第一边的平方等于另外两边的平方和减去另外两边的2倍乘第一边对角的余弦.如
13、. 图 2分析：因为,所以可从以下两方向入手，证明余弦定理并得其推论.定理：，由此可推出余弦定理， 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积得两倍。即.证明：推论:,可推出平面三角的射影定理，即 . 证明：余弦定理可解决以下两类有关三角形的问题：一类是已知两边和它们的夹角，求解三角形；另一类是已知三边，求解三角形。已知三角形的两边和其中一边的对角，因为它不满足三角形全等的条件，故可能有两解、一解、甚至无解，用正弦定理求解心里不踏实；用余弦定理求解则只要看相应的一元二次方程是否有两正数解、一正数解或无正数解即可。4.2余弦定理新的证明 余弦定理可以用于求值、求角或角
14、的范围、用于化简、判断三角形的形状、用于证明三角不等式、用于研究函数的性质或用于研究函数的最值等等。4.2.1从几何角度直观证明余弦定理 在平面三角形中, 对于余弦定理这样的基本结果, 我们总是能够从不同的角度来理解它, 下面我们从几何的角度给出该定理的几个直观证明. 方法一：应用勾股定理证明. 图 3 图 4 分析： 此证明方法直接由坐标法的证明演化而来. 证明一： 在中,AC=b、AB=c、BC=a(图 3).,在中,根据勾股定理，整理得. 证明二：在中，AC=b,(图 4).在中，根据勾股定理，整理得.方法二：应用Ptolemy定理证明.分析：圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积, 这就是有名的Ptolemy定理，即.以下用Ptolemy定理来证明余弦定理. 图 5 证明：在ABC的外接圆里,取，,则又,根据Ptolemy定理 即 方法三：应用圆幂定理证明. 图 6 图 7分析：如图6和图7,以B为圆心,以a为半径画圆,则有.其中圆的半径为a，AB=
