《高三一轮复习教案16平面向量数量积及其应用老师版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三一轮复习教案16平面向量数量积及其应用老师版（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面向量的数量积怎么考？1考查平面向量数量积的运算2考查利用数量积求平面向量的夹角、模3考查利用数量积判断两向量的垂直关系基础梳理1两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角，当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.2两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.3向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|
2、cos 的数量积4向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos ；(2)abab0；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，特别的，aa|a|2或者|a|；(4)cos ；(5)|ab|a|b|.5向量数量积的运算律(1)abba；(2)ab(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.6平面向量数量积的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则(1)abx1x2y1y2；(2)|a|；(3)cosa，b；(4)abab0x1x2y1y20.7若A(x1，y1)，B(x2，y2)
3、，a，则|a|(平面内两点间的距离公式)一个条件两个向量垂直的充要条件：abx1x2y1y20.两个探究(1)若ab0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若ab0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若a，b，c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足abac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与a(bc)不一定相等(3)向量夹角的概念要领
4、会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120，而不是60.双基自测1(人教A版教材习题改编)已知|a|3，|b|2，若ab3，则a与b的夹角为()A. B. C. D.解析设a与b的夹角为，则cos .又0，.答案C2若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是()A(ab)ca(bc) B(ab)cacbcCm(ab)mamb D(ab)ca(bc)答案D3(2011广东)若向量a，b，c满足ab，且ac，则c(a2b)()A4 B3 C2 D0解析由ab及ac，得bc，则c(a2b)ca2cb0.答案D4已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于()A9
5、B4 C0 D4解析ab(1x,4)由a(ab)，得1x80.x9.答案A5(2011江西)已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为_解析由|a|b|2，(a2b)(ab)2，得ab2，cosa，b，又a，b0，所以a，b.答案考向一求两平面向量的数量积【例1】(2011合肥模拟)在ABC中，M是BC的中点，|1，2，则()_.审题视点 由M是BC的中点，得2.解析如图，因为M是BC的中点，所以2，又2，|1，所以()24|2|2，故填.答案 当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分
6、利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识【训练1】 如图，在菱形ABCD中，若AC4，则_.解析，故().而，.所以CA28.答案8考向二利用平面向量数量积求夹角与模【例2】已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|和|ab|.审题视点 由平面向量数量积的运算法则得ab的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角解(1)(2a3b)(2ab)61，解得ab6.cos ，又0，.(2)|ab|2a22abb213，|ab|.|ab|2a22abb237.|ab|. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|要引
7、起足够重视，是求距离常用的公式【训练2】 已知a与b是两个非零向量，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角解设a与ab的夹角为，由|a|b|得|a|2|b|2.又由|b|2|ab|2|a|22ab|b|2.ab|a|2，而|ab|2|a|22ab|b|23|a|2，|ab|a|.cos .0180，30，即a与ab的夹角为30.考向三平面向量的数量积与垂直问题【例3】已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.审题视点 利用abx1x2y1y20及abx1y2x2y10，求解解(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)
8、0.整理，得x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则有1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.综上，可知|ab|2或2. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算【训练3】 已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，(2，m)，(n,
9、1)，(5，1)，且，求实数m，n的值解由于A，B，C三点在同一条直线上，则，(7，1m)，(n2,1m)，7(1m)(1m)(n2)0，即mnn5m90，又，2nm0.联立，解得或平面向量与解三角形（一） 知识内容在中，、为其内角，、分别表示、的对边解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解斜三角形的主要依据是：角与角关系：；边与边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；边与角关系：正弦定理（为外接圆半径）；余弦定理，
10、；面积公式：（二）典例分析： 【例1】 在中，则角等于（ ）A或 B C D以上答案都不对在中，若，则的形状是_【例2】 在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）A BC D【例3】 （2006安徽）如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）A和都是锐角三角形B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形【例4】 （2008浙江理）在中，角，所对的边分别为，若，则_【例5】 （2008辽宁）在中，内角对边的边长分别是，已知，若的面积等于，求；若，求的面积【例6】 （2008山东理15）已知为的三个内角的对边，向量，若，且，则角 【课后练习】1、 已知，向量与的位置关系为（ ）(A)平行 (B)垂直 (C)夹角为 (D)不平行也不垂直2、 在ABC中，若ABC为直角三角形，求实数k的值。3、 已知，(1)若，求；(2)若与的夹角为60，求；(3)若与垂直，求与的夹角。4、已知，则与的夹角是 5、已知，求与的夹角。6、已知四边形ABCD中，= (6,1), =(x,y)，=(-,-3),(1)若，试探究 x与y间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有，试求x,y的值及四边形ABCD的面积.
