《2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的运算 1.2.1 常见函数的导数教学案 苏教版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的运算 1.2.1 常见函数的导数教学案 苏教版选修2-2（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.1常见函数的导数几个常见函数的导数已知函数(1)f(x)c，(2)f(x)x，(3)f(x)x2，(4)f(x)，(5)f(x).问题1：函数f(x)x的导数是什么？提示：1，当x0时，1，即x1.问题2：函数f(x)的导数是什么？提示：，当x0时，即.1(kxb)k(k，b为常数)；2C0(C为常数)；3(x)1；4(x2)2x；5(x3)3x2；6.；7() .基本初等函数的导数公式1(x)x1(为常数)；2(ax)axln_a(a0，且a1)；3(logax)logae (a0，且a1)；4(ex)ex；5(ln x)；6(sin x)cos_x；7(cos x)sin_x.函数
2、f(x)logax的导数公式为f(x)(logax)，当ae时，上述公式就变形为(ln x)，即f(x)ln x是函数f(x)logax当ae时的特殊情况类似地，还有f(x)ax与f(x)ex.求函数的导数例1求下列函数的导数(1)yx8；(2)y；(3)yx；(4)ylog2x.思路点拨解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导精解详析(1)y(x8)8x7；(2)y(x3)3x4；(3)y(x)(x)x；(4)y(log2x).一点通用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数
3、式，利用幂函数的求导公式求导1函数ysin的导数是_解析：ysincos x，所以ysin x.答案：sin x2下列结论中不正确的是_若y3，则y0；cos ；若yx，则y1.解析：正确；sin ，而()0，不正确；对于，(x)x，正确；正确答案：3求下列函数的导函数(1)y10x；(2)ylogx；(3)y；(4)y21.解：(1)y(10x)10xln 10；(2)y(logx)；(3)yx，y(x)x；(4)y(sincos)21sin22sincoscos21sin x，y(sin x)cos x.求函数在某一点处的导数例2求函数f(x)在x1处的导数思路点拨先求导函数，再求导数值精
4、解详析f(x)x，f(x)x，f(1).一点通求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解4若函数f(x)，则f(1)_.解析：f(x)()(x)x，f(1).答案：5若函数f(x)sin x，则f(6)_.解析：f(x)(sin x)cos x.f(6)cos 61.答案：16已知f(x) 且f(1)，求n.解：f(x)(x)x1x，f(1)，由f(1)得，得n2.求切线方程例3已知曲线方程yx2，求：(1)曲线在点A(1,1)处的切线方程；(2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程思路点拨(1)点A在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B点
5、不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程精解详析(1)y2x，当x1时，y2，故过点A(1,1)的切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)B(3,5)不在曲线yx2上，可设过B(3,5)与曲线yx2相切的直线与曲线的切点为(x0，y0)y2x，当xx0时，y2x0.故切线方程为yx2x0(xx0)又直线过B(3,5)点，5x2x0(3x0)即x6x050.解得x01或x05.故切线方程为2xy10或10xy250.一点通(1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况：求曲线在点P处的切线方程，P为切点，在曲线上；求过点P与曲线相
6、切的直线方程，P不一定为切点，不一定在曲线上(2)求曲线上某点(x0，y0)处的切线方程的步骤：求出f(x0)，即切线斜率；写出切线的点斜式方程；化简切线方程(3)求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：设出切点坐标为(x0，y0)；写出切线方程yy0f(x0)(xx0)；代入点P的坐标，求出方程7已知直线yxa与曲线yln x相切，则a的值为_解析：设切点为P(x0，y0)，y，由题意得1，x01，点P的坐标为(1,0)，把点P的坐标代入直线yxa，得a1.答案：18求曲线y2x21的斜率为4的切线的方程解：设切点为P(x0，y0)，y4x，由题意知，当xx0时，y4x04，所以x01.当x01
7、时， y01，切点P的坐标为(1,1)故所求切线的方程为y14(x1)，即4xy30.1对公式yxn的理解：(1)yxn中，x为自变量，n为常数；(2)它的导数等于指数n与自变量的(n1)次幂的乘积公式中nQ，对nR也成立2在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x)cos x，(cos x)sin x，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化(2)对于公式(ln x)和(ex)ex很好记，但对于公式(logax)logae和(ax)axln a的记忆就较难，特别是两个常数logae与ln a很容易混淆对应课时跟踪训练(三)一、填空题1已知f(x)x，
8、若f(1)4，则的值是_解析：f(x)x，f(x)x1，f(1)(1)14.4.答案：42过曲线y上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标为_解析：设P(x0，y0)，则f(x0)4.所以x0，所以P或P.答案：或3已知f(x)x2，g(x)x3，则适合方程f(x)1g(x)的x值为_解析：由导数公式可知f(x)2x，g(x)3x2.所以2x13x2，即3x22x10.解之得x1或x.答案：1或4设函数f(x)logax，f(1)1，则a_.解析：f(x)，f(1)1.ln a1，即a.答案：5已知直线ykx是曲线yln x的切线，则k的值等于_解析：y(ln x)，设切点坐标为(x0，y0)，
9、则切线方程为yy0(xx0)即yxln x01.由ln x010，知x0e.k.答案：二、解答题6求下列函数的导数(1)ylg 2；(2)y2x；(3)y；(4)y2cos21.解：(1)y(lg 2)0；(2)y(2x)2xln 2；(3)y(x)x；(4)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.7已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx2上的两点，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程解：y(x2)2x，设切点为M(x0，y0)，则当xx0时，y2x0.又PQ的斜率为k1，而切线平行于PQ，k2x01，即x0，所以切点为M，所求的切线方程为yx，即4x4y10.8求曲线y
10、和yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积解：由解得交点为(1,1)y，曲线y在(1,1)处的切线方程为y1x1，即yx2.又y(x2)2x，曲线yx2在(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.yx2与y2x1和x轴的交点分别为(2,0)，.所求面积S1.在校园的时候曾经梦想去桂林，到那山水甲天下的阳朔仙境，漓江的水呀常在我心里流，去那美丽的地方是我一生的期望，有位老爷爷他退休有钱有时间，他给我描绘了那幅美妙画卷，刘三姐的歌声和动人的传说，亲临其境是老爷爷一生的心愿，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有时间的时候我却没有钱，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有了钱的时候我却没时间9
