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1、第三章 线性系统的时域分析法 The Time Analysis of Linear SystemsThe Time Analysis of Linear Systems 第第2部分 机电学院自动化系 部分 机电学院自动化系 3.4 线性系统的稳定性分析 P1093.4 线性系统的稳定性分析 P109 稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。 对系统进行各类品质指标的分析也必须在系 统稳定的前提下进行 对系统进行各类品质指标的分析也必须在系 统稳定的前提下进行。 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 问题问题 1.如何分析系统的稳定性? 2.
2、提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基 本任务之一。 1.如何分析系统的稳定性? 2.提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基 本任务之一。 一 稳定的概念和定义一 稳定的概念和定义 任何处于平衡状态下的系统，在扰动作用下， 系统要偏离原来平衡状态，使输出有偏差。 任何处于平衡状态下的系统，在扰动作用下， 系统要偏离原来平衡状态，使输出有偏差。 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 稳定性：稳定性：指当扰动消失以后，系统可以以足够的 准确度，经过一段时间，可以恢复平衡状态的 性质，叫稳定性。相反，如果不能恢复平衡态 叫不稳定. 指当扰动消失以后，系统可以以足够的 准确度，
3、经过一段时间，可以恢复平衡状态的 性质，叫稳定性。相反，如果不能恢复平衡态 叫不稳定. 响应角度： 当t-，暂态-0,稳态建立了叫稳定。 线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结 构、参数），与系统的输入信号无关。 举例 响应角度： 当t-，暂态-0,稳态建立了叫稳定。 线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结 构、参数），与系统的输入信号无关。 举例:稳定系稳定系 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 举例举例:不稳定系不稳定系 举例举例 1.圆锥体 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 2 塔科马峡谷大桥塔科马峡谷大桥 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性
4、系统的稳定性分 思考题 人类通过自己的眼睛和耳朵来保持平衡。人体中的方位 系统可以使自己能准确稳定地静坐或站立在预期位置 上，即使是在运动过程中，方位系统也能使人准确地 定位。方位系统所需的基本信息主要来自于内耳，其 中半圆周负责敏感角加速度信息，耳石负责敏感线加 速度信息，而且这些加速度信息还需要用视觉信息加 以补充。试做下面的试验 思考题 人类通过自己的眼睛和耳朵来保持平衡。人体中的方位 系统可以使自己能准确稳定地静坐或站立在预期位置 上，即使是在运动过程中，方位系统也能使人准确地 定位。方位系统所需的基本信息主要来自于内耳，其 中半圆周负责敏感角加速度信息，耳石负责敏感线加 速度信息，而
5、且这些加速度信息还需要用视觉信息加 以补充。试做下面的试验(1)一脚在前一脚在前,一脚在后站立一脚在后站立, 手放在臀部手放在臀部,双肘朝外双肘朝外;(2)闭上双眼闭上双眼. 你是否能感觉到身体在作低频振荡你是否能感觉到身体在作低频振荡,而且这种振荡还会 不断加强 而且这种振荡还会 不断加强,直至使你失去平衡直至使你失去平衡?在你用或者不用眼睛时在你用或者不用眼睛时, 你的方位系统是否都能稳定工作你的方位系统是否都能稳定工作? 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 二 稳定的充分必要条件 (1)0g(t)(1)0g(t) limlim t t = 若t-时，脉冲响应 输出增量收
6、敛于原平衡工作点，则线性系统 是稳定的 若t-时，脉冲响应 输出增量收敛于原平衡工作点，则线性系统 是稳定的. 设线性系统在初始条件为0时，作用一个理 想脉冲 设线性系统在初始条件为0时，作用一个理 想脉冲 (t)(t) 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 当且仅当系统的特征根全部具有负实部时当且仅当系统的特征根全部具有负实部时 0tt)1sin(e 1 Bc t)1cos(eB eAg(t) 2 k k r 1k t 2 k k kkkk q 1j r 1k 2 k k t k tp j 0tt)1sin(e 1 Bc t)1cos(eB eAg(t) 2 k k r 1k
7、 t 2 k k kkkk q 1j r 1k 2 k k t k tp j kk kk j kk kk j + += = = 输入单位脉冲信号R(s)=1输入单位脉冲信号R(s)=1 = = + = q 1j r 1k 2 kkk 2 j m 1i i q 1j r 1k 2 kkk 2 j m 1i i )s2(s)p(s )z(sk (s).1C(s) )s2(s)p(s )z(sk (s).1C(s) 脉冲响应为：脉冲响应为： 0g(t)0g(t) limlim t t = 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 稳定的充要条件：稳定的充要条件： 闭环特征方程式的根须都位
8、于闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面。的左半平面。 三. 判定线性系统稳定的基本方法 1.特征方程法：解特征方程，求出特征根 2.代数判据法：劳斯判据、赫尔维茨判据 3.根轨迹法：图解法 4.频率稳定判据：乃奎斯特判据 三. 判定线性系统稳定的基本方法 1.特征方程法：解特征方程，求出特征根 2.代数判据法：劳斯判据、赫尔维茨判据 3.根轨迹法：图解法 4.频率稳定判据：乃奎斯特判据 稳定性只取决于闭环特征根(闭环极点）与 系统零点无关。 稳定性只取决于闭环特征根(闭环极点）与 系统零点无关。 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 四 赫尔维兹判据 稳定的充要条件：由特征方
9、程各项系数所 构成的主行列式及其顺序主子式全部为正。 稳定的必要条件： 特征方程中各项系数均为正数 四 赫尔维兹判据 稳定的充要条件：由特征方程各项系数所 构成的主行列式及其顺序主子式全部为正。 稳定的必要条件： 特征方程中各项系数均为正数 判据：判据： 00 01 2 2 1 10 =+ + aaSaSaSaSa nn nnn 特征方特征方 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 五 劳斯判据五 劳斯判据（Rouths stability criterion） 1.判据 当且仅当劳斯表第一列所有各值严格为正 时，系统稳定。如果劳斯表第一列出现小于0的 数值，系统不稳定。第一列符
10、号改变次数，为特 征方程正实部根的数目。 2.劳斯表构成 1.判据 当且仅当劳斯表第一列所有各值严格为正 时，系统稳定。如果劳斯表第一列出现小于0的 数值，系统不稳定。第一列符号改变次数，为特 征方程正实部根的数目。 2.劳斯表构成 P113 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 劳斯表构成规律劳斯表构成规律 将各项系数，按下面的格式排成劳斯将各项系数，按下面的格式排成劳斯 )553(00 01 2 2 1 10 =+ + aaSaSaSaSa nn nnn 1 0 21 1 321 2 321 3 4321 2 7531 1 6420 fS eeS dddS cccS abb
11、bS aaaaS aaaaS n n n n 劳斯表构成劳斯表构成 这样可求得这样可求得n+1行系数行系数 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 例1例1 10)1)(ss(s k G(s) 10)1)(ss(s k G(s) + = 已知单位反馈系统 k=50 已知单位反馈系统 k=50250之间变化试分析系统的稳定性。250之间变化试分析系统的稳定性。 k k k 0 1 2 3 23 0 1 2 3 23 s s s s 0ksssD(s) s s s s 0ksssD(s) 0 11 110 11 101 1011 =+= 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳
12、定性分 解决： 法1：把0元素用任意小的正数 取代 法2：用（s+a）乘特征方程的两端，作为新 的特征方程（ a 为任意正数） 解决： 法1：把0元素用任意小的正数 取代 法2：用（s+a）乘特征方程的两端，作为新 的特征方程（ a 为任意正数） 3. 两种特殊情况 （1）劳斯表某行第一个元素为0 ，而其他元 素不全为0； （1）劳斯表某行第一个元素为0 ，而其他元 素不全为0； 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 举例举例1 3. 两种特殊情况 解决： 3. 两种特殊情况 解决： 用全用全0 元素的上一行构造辅助方程元素的上一行构造辅助方程 将辅助方程对将辅助方程对s求导求
13、导 由求导后方程的各项系统取代由求导后方程的各项系统取代0元素元素 由辅助方程可求不稳定的根由辅助方程可求不稳定的根 （2）劳斯表某一行的元素全为）劳斯表某一行的元素全为 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 举例动画举例动画2 当出现全零行时，表明特征方程中存在一些绝 对值相同，但符号相异的特征根。例两个大小相 等，但符号相反的实根或一对共轭纯虚根或对称于 实轴的两对共轭复根。 这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求 解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶 数的。相应方程中含有一些大小相等符号相反的 实根或共轭虚根。相应的 当出现全零行时，表明特征方程中存在一些绝 对值
14、相同，但符号相异的特征根。例两个大小相 等，但符号相反的实根或一对共轭纯虚根或对称于 实轴的两对共轭复根。 这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求 解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶 数的。相应方程中含有一些大小相等符号相反的 实根或共轭虚根。相应的系统为不稳定系统为不稳定 劳斯表某一行的元素全为0劳斯表某一行的元素全为0 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 4.用劳斯判据研究一、二、三阶系统 （1）一、二阶系统稳定的充要条件：特征方程 的所有系数都为正； （2）三阶系统稳定的充要条件：特征方程的所 有系数都为正且； （3）系统稳定的 4.用劳斯判据研究一、二、三阶
15、系统 （1）一、二阶系统稳定的充要条件：特征方程 的所有系数都为正； （2）三阶系统稳定的充要条件：特征方程的所 有系数都为正且； （3）系统稳定的必要条件必要条件：特征方程的所有系 数必须存在且同号； 3021 aaaa ：特征方程的所有系 数必须存在且同号； 3021 aaaa 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 例：一个控制系统的特征方程为例：一个控制系统的特征方程为 01616201282 23456 =+SSSSSS 列劳斯列劳斯 16 0 3 8 166 248 000 16122 016122 162081 0 1 2 3 4 5 6 S S S S S S S
16、 2,2jj 显然这个系 统处于临界 (不)稳定状 态 显然这个系 统处于临界 (不)稳定状 态。 16122)( 24 +=sssF ss ds sdF 248 )( 3 += 0)4)(2(2)86(216122)( 222424 =+=+=+=sssssssF 3.4 线性系统的稳定性分3.4 线性系统的稳定性分 5. 劳斯判据的应用 2.经过适当改造的劳斯判据，可用来检验系 统是否具有一定的稳定裕量，即相对稳定 性。 1.主要用来判断线性定常系统，但不能表明特 征方程式的根在S平面上相对于虚轴的距离。 3.可用来分析个别参数变化，尤其是开环增益 对系统稳定性的影响，从而选取合理参数 5. 劳斯判据的应用 2.经过适当改造的劳斯判据，可用来检验系 统是否具有一定的稳定
