微分方程 (2)

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1、微分方程,第七章, 积分问题, 微分方程问题,推广,本 章 内 容 一、微分方程的基本概念 二、一阶微分方程 三、可降阶高阶微分方程 四、高阶线性微分方程 五、常系数线性微分方程 六、数学建模与微分方程应用简介,第一节 微分方程的基本概念,一、引例,二、基本概念,*三、更多的实际问题,一、 引例,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,引例1.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x ,求该曲线的方程 .,引例2 放射性物质衰变的规律

2、是: 在每一时刻t, 衰变的速率 与该时刻尚存的质量成正比, 即,引例3 质量为的跳伞员下落时, 所受到的空气阻力与下降速度成反比（注意阻力的方向与速度方向相反）, 取坐标轴沿垂直方向指向地心, 则该跳伞员在时刻t的坐标y=y(t)应满足,(k0为比例系数),(k0为比例系数),二、基本概念,定义1 联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数或偏导数的等式称为微分方程，其中未知函数的倒数或偏导数必须出现，而自变量的导数可以不必出现，则称为常微分方程；若未知函数为多元函数，则称为偏微分方程。,定义2 微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。,例如，例1，例2是一阶微分方程，例3是二

3、阶微分方程。,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,或,(n 阶显式微分方程),例如，一阶微分方程就可以表示为,或,微分方程的解,使方程成为恒等式的函数.,定义3,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程, 确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,引例2,引例1,通解:,特解:, 不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,注意：通解不一定包含所有解。例如伯努利方程,的隐式通解为,，此外，方程还有解,，这,个解不包含在通解中。,例4 验证函数,是微分方程,的通解（其中 是任意常数），并,并求方程满足初始条件 的特解。,解：对 求导得,和,将

4、 的表达式代入所给微分方程的左边，得,因此满足微分方程，即 是微分方程的解，又因它含有两个独立的任意常数（本例解中 不可能合并为一个任意常数），故,即为二阶微分方程的通解。,由,可得,解得,故方程满足初始条件的特解为,求所满足的微分方程 .,例5.已知曲线上点P(x, y)处的法线与 x 轴交点为Q,解: 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,三、更多的实际问题,1.增长率问题（参考p213）,2.弦的微小横振动模型（参考p214),第二节,本节讨论一阶微分方程,（1）,的一些解法。这一方程有时也可改写成如下的对

5、称形式：,（2）,一、可分离变量方程,一阶微分方程,若在方程(2)中，有,则（2）可变形为,（3）,形式地看，（3）把变量X和y成功地分离到方程的两边，每边只含有一个变量。一般地可将（3）写为形如：,（4）,的方程。（3）和（4）称为可分离变量的微分方程，简称变量可分离方程。,可分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y)与F(x) 可微且G(y)g(y) 0时,的隐函数 y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当 F (x) = f (x)0,时,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,设左右两端的原函数分别为 G(y), F

6、(x),说明由确定,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),例2 求解方程,解: 当,时，易得方程的隐式通解为：,即,于是通解为,另外，方程还有常数解,，它们不包含,通解中。,练习:,二、齐次方程,一、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程 .,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例3. 解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,( 当 C =

7、 0 时, y = 0 也是方程的解),( C 为任意常数 ),例4 求解方程,解： 原方程可化为,，令,，代入得,或,易见u=0是此方程的一个解，从而y=0是原方程的一个解。,当u0时，分离变量后两端积分得,或,将,代入上式，得到原方程的通解为,注意,此通解不包含y=0,( h, k 为待,*三、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令, 解出 h , k,(齐次方程),定常数),求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注: 上述方法可适用于下述更一般的方程,例5 求解方程,解：因为方程组,有唯一解,令,，得,再令,，代入整理得,两边对X积分得,即,或,将,

8、回代，得原方程的通积分,当,时，解得,，还原后,又得到原方程的两个解,例6. 求解,解:,令,得,再令 YX u , 得,令,积分得,代回原变量, 得原方程的通解:,得 C = 1 ,故所求特解为,思考: 若方程改为,如何求解?,提示:,四、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,（4.1）,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,（4.2）,用同样的方法可以得到初值问题,的解为,（4.3）,

9、例7 求方程,的通解及满足y(1)=1解。,解 将方程写为标准形式,易得对应,齐次线性微分方程,的通解为,由常数变易法，令,，即设,是原齐,次线性微分方程组的解，将其代入原方程后有：,即,或,，于是原方程通解,将y(1)=1代入通解得,，故满足该初始条件的解为:,也可直接用满足初始条件的通解公式(4.3)求解：,例8 求方程,的通解。,解 显然，这个方程关于y是非线性的，且不能进行变量,分离。但是如果把它改写为,并将x看作未知函数，y看作自变量，就成为关于y的线,性微分方程，直接利用通解公式（4.2），可得原方程,的通解为：,*3、伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的标准形式:

10、,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(以z为未知函数的一阶线性微分方程),注意:当n0，伯努利方程总有特解y=0.,例9 求解方程,解 方程可改写为n=4的伯努利方程,令,，代入原方程可得一阶线性微分方程,其通解为,代回原变量后可得原方程的通解为,或,例10.求方程,的通解.,解:令,则方程变形为,其通解为,将,代入, 得原方程通解:,五、全微分方程,若一阶微分方程（2）的左端恰好是某个二元函,数u(x,y)的全微分,即,则方程（2）称为全微分方程（恰当方程），其中,，而方程（2）就变为,从而其隐式通解为：,而u(x,y)有时也称为,（其中C为

11、任意常数）,的原函数。,注意：方程,是全微分方程,的充分必要条件为,.这是判别一个方程是否为,全微分方程最主要的判据.,例11 求解方程,解 其中,有,，故原方程是全微分方程.,解法一 由,得,从而,即可解出,于是原方程的通解为：,解法二 取,原方程的通解仍然为：,解法三 利用全微分的概念，将原方程变形为：,或,即,于是原方程的解为：,小结,以上我们介绍了一些较基本的求解方法，值得注意的是同一个方程往往那个可以用不同的初等变形手段转化为不同类型的方程求解，所以在微分方程的求解过程中，一题多解的现象时常出现.,例12 求解方程,解法一 原方程可改写为齐次方程,令y=ux可将原方程化为变量分离方程

12、如下：,，积分后回代得到通解：,解法二 原方程又可改写为一阶线性微分方程如下,，直接用其通解公式即可得到通解：,解法三 分组凑微分，将原方程改写为如下形式,，两边同乘以,，得：,，即,从而其通解为,第三节可降阶高阶微分方程,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,例1.,解:,例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减,直到 t = T 时 F(T) = 0 .,如果开始时质点在原点,解: 据题意有,

13、t = 0 时,设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .,小,求质点的运动规律.,初速度为0,且,对方程两边积分, 得,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,引入参数法求解.,设,则,而原方程化为,方程.,设其通解为,代入参数,又得到一个一阶微分方程,对它进行,积分,便得原方程的通解,二、,型的微分方程,例3 解方程,解:,代入方程得,.,这是一个一阶线性微分方程, 解之得,从而原方程的通解为,例4. 求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,例5.,绳索仅受,重力作用而下垂,解: 取坐标系如图.,考察

14、最低点 A 到,( : 密度, s :弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件, 有,故有,设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?,任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:,两式相除得,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬 链 线,微分方程,不明显地含自变量,引入参数法求解,设,则由复合函数的求导,法则有,这样,原方程就化为,设它,的通解为,分离变量并积分,使,得原方程的通解,型的微分方程,三、,例6. 求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,例7 求解方程,由此得,;,此变量分离方程

15、的通解为,代入原方程得,例8. 解初值问题,解: 令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,1.,课堂练习,2.,3.,1.,解,对所给方程连续积分三次，得,这就是所求得通解 .,完,2、,解方程,解,令,分离变量得,即,由,由,故,3、,解,代入原方程得,原方程通解为,内容小结,可降阶微分方程的解法, 降阶法,逐次积分,令,令,高阶线性微分方程,第四节,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,*四、常数变易法,一、二阶线性微分方程举例,第十一章,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态,例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,(1) 自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比, 方向相反.,建立位移满足的微分方程.,