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1、3.1空间向量及其加减与数量运算,浙江省玉环县楚门中学吕联华,平面向量,空间向量,具有大小和方向的量,具有大小和方向的量,几何表示法,几何表示法,字母表示法,字母表示法,向量的大小,向量的大小,长度为零的向量,长度为零的向量,模为1的向量,模为1的向量,长度相等且方向 相反的向量,长度相等且方向 相反的向量,长度相等且方向相同 的向量,长度相等且方向相同的向量,定义,表示法,向量的模,零向量,单位向量,相反向量,相等向量,一:空间向量的基本概念,O,A,B,结论:空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内, 内,成为同一平面内的两个向量。,思考:空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内?为什么
2、?,O,说明,空间向量的运算就是平面向量运算的推广,2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有关结论仍适用于它们。,加法交换律,加法:三角形法则或 平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,例如:,三、空间向量的数乘运算,四、空间向量加法与数乘向量运算律,加法交换律:,a + b = b + a;,加法结合律:,(a + b) + c =a + (b + c);,a,b,c,a + b + c,a,b,c,a + b + c,a + b,b + c,(3).空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,五、共线向量:,零向量与任意向量共线.,由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题,中点公
3、式:,若P为AB中点, 则,3.A、B、P三点共线的充要条件,A、B、P三点共线,六、共面向量:,1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意:空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向量,既可能共面,也可能不共面,由平面向量基本定理知,如果 , 是平面内的两个不共线的向量,那么 对于这一平面内的任意向量 ,有且只有一对实数 , 使,如果空间向量 与两不共线向量 , 共 面,那么可将三个向量平移到同一平面 ,则 有,那么什么情况下三个向量共面呢?,反过来,对空间任意两个不共线的向量 , ,如果 ,那么向量 与向量 , 有什么位 置关系?,C,2.共面向量定理:如果两个向量 , 不共
4、线,,则向量 与向量 , 共面的充要条件是,存在实数对x,y使,C,3.空间四点P、A、B、C共面,实数对,例1、给出以下命题: (1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同; (2)若空间向量 满足 ,则 ; (3)在正方体 中,必有 ; (4)若空间向量 满足 ,则 ; (5)空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,C,例2,解:,设M是线段CC的中点,则,解:,设G是线段AC靠近点A的 三等分点,则,G,解:,例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。,例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,
5、 求满足下列各式的x的值。,例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。,解:,例3:已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。,解:,例4:,B,2.对于空间中的三个向量 它们一定是: A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线又不共面向量,A,3.已知点M在平面ABC内,并且对空间任 意一点O, ,则x 的值为:,D,4.已知A、B、C三点不共线,对平面外一点 O,在下列条件下,点P是否与A、B、C共面?,例5. 如图,已知平行四边形ABCD,过平 面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD,在四条射线上分别取点E、F、G、H,并且使 求证: 四点E、F、G、H共面; 平面EG/平面AC.,O,B,A,H,G,F,E,C,D,例5 (课本例)已知 ABCD ,从平面AC外一点O引向量,求证:四点E、F、G、H共面;,平面AC/平面EG.,证明:,()代入,所以 E、F、G、H共面。,证明:,由面面平行判定定理的推论得:,小结,共面,