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1、我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。 系统信息不完全的情况有以下四种： （1）元素信息不完全。 （2）结构信息不完全。 （3）边界信息不完全。 （4）运行行为信息不完全。,灰色预测模型,灰色系统理论的基本观点,1、灰色系统理论认为任何随机过程都是一定幅度值范围、一定时区内变化的灰色量，所以随机过程是一个灰色过程。,在处理手法上，灰色过程是通过对原始数据的整理来寻找数的规律，这叫数的生成。,2、灰色系统理论认为：尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，总是有序的，对原始数据作累加处理后，便出现了明显的指数
2、规律。这是由于大多数系统是广义的能量系统，而指数规律便是能量变化的一种规律。,生成数的主法,随机过程在灰色系统里被称为灰色量，灰色系统对灰色量的处理既不找概率分布，也不寻求统计特征，而是通过数据处理方法来寻找数据表现的规律，这种数据处理方法称为生成法，灰色系统中主要有累加生成和累减生成。,一、累加生成,记原始序列为：,生成序列为：,其中：,例,累计生成序列,累减生成,例,令K0，X1(0)=0,累计生成序列,3.关联度,关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法。计算关联关需先计算关联系数。,关联系数计算方法：,设参考序列为,被比较序列为,关联系数定义为：,其中：,（1） 为第K点X0与Xi的
3、绝对差。,（接下页）,（3） 是两级最大差，其含义与最小差相似。,（4）p称为分辨率0p1，,P 越大，分辨率越大，一般采取P0.5,（5）对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数前应首选进行初值化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。,2、关联度,被比较序列与参考序列的关联度是各类关联系数的平均值，即,（2） 为两级最小差。其中 是第一级最小差，表示在Xi序列上找各点与X0的最小差。,为第二级最小差，表示在各序列找出的最小差基础上寻求所有序列中的最小差。,例,设参考序列为Y0（8，8.88，16，18，24，32），被比较序列为 Y1（10，11.66，18.34，20，23.4，30）
4、 Y2（5，5.625，5.375，6.875，8.125，8.75）,求其关联度：,r1、r2表明X1和X0的关联程度大于X2与X0的关联程度。,4. GM（1.1）预测模型,一、GM（1.1）模型,设时间序列X0有几个观察值，,累加生成序列,，生成序列X1,满足：,式中a称发展灰数，U称内生控制灰数。,设,为待估参数向量,，利用最小二乘法求解可得,其中,二、模型检验,灰色预测模型检验一般有残差检验，关联度检验和后验差检验。,1.残差检验,首先按模型计算,，其次将,累减生成,，最后计算,原始序列,与,的绝对残差,及相对误差,2.关联度检验,按关联度计算方法算出 与原始序列 的关联系数，然后算
5、出关联度，根据经验，当p=0.5时，关联度大于0.6便是满意的。,3.后验差检验,（1）首先计算原始序列的平均值,（2）再计算原始序列的均方差,（3）再次计算残差 的均值,（4）然后再求残差的均方差 ，式中,（5）计算方差比,（6）计算小误差概率,其中,令,若相关误差，关联度、后验差检验在允许范围之内，则可用所建模型进行预测，否则应进行残差修正。,例：某县皮棉产量如表，试建立GN(1.1)预测模型，并预测第8期皮棉产量。,解：令X0(1)、 X0(2)、 X0(3)、 X0(4)、 X0(5)、 X0(6)对立于原始序列数据,第一步，构造累加生成序列： 生成序列X1=2.67，5.80，9.0
6、5，12.41，15.97，19.69 第二步，构造数据矩阵B和数据向量Yn：,第三步，计算BTB，(BTB)-1Yn：,即a=-0.043879 u=2.925663,第四步，得出预测模型：,第五步：残差检验： （1）计算：,（2）累减生成 序列：,原始序列,（3）计算绝对误差及相对误差序列：,绝对误差序列00，0.02，0.04，0.02，0.01,相对误差序列0/2.67100%，0.02/3.13 100%，0/3.25 100%，0.04/ 3.36 100%，0.02/3.56 100%，0.01/3.72 100%=0.064%,0,1.19%,0.56%,0.27% 相对误差小
7、于1.19%，模型精确度高。,第六步，进行关联度检验： （1）计算序列X0与X0的绝对误差(i)：,（2）计算关联系数： 由于只有两个序列，故不再寻第二级最小及最大：,（3）计算关联度：,r=0.67 是满足 p=0.5 时的检验准则 r0.6 的。,第六步，后验差检验： （1）计算,（2）计算X0序列均方差：,（3）计算残差的均值：,（4）计算残差的均方差：,（5）计算C：,（6）计算小误差概率：,S00.67450.36710.2476,第八步，模型经检验合格后可用于预测，预测公式为：,本例中i=7,即该县第八期皮棉产量为4.23百万担。,有关建模的问题说明,（1）给定原始序列X0中的数据
8、不一定要全部用来建立模型，对原始序列的取舍不同，可得模型不同，即a、u的值不同。 （2）建模的数据取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳跃出现。 （3）一般建模数据序列应当由最新数据及其相邻数据构成，当再出现新数据时，可采取两种处理方法：一是将新信息加入原始序列中，重估参数；二是去掉原始序列中最老的一个数据，再加上最新数据，所形成序列和原序列维数相等，再重估参数。,GM（1.1）的区间预测,预测区间,例：某地区年平均降雨量数据如下表：,规定320，并认为x(0)(i) 为旱灾，试作灾变预测。,解：给定数列为,按照x(0)(i)320为异常值，有x(0)为,x(0)=(320,310,300,313.8,318.5) =(x(0)(1)， x(0)(2)， x(0)(3)， x(0)(4)， x(0)(5) =(x(0) (3)， x(0) (8)， x(0) (10)， x(0) (14)， x(0) (17)。 为此，有 或者写为P=(p(1)，p(2)， p(3)， p(4)， p(5)=(3，8，10，14，17)。 将P中数据作1次累加生成，得P(1)有,按P(1)建立GM(1,1)模型，得,检验上述模型,生成模型检验：,还原数据检验,预测第6个数与第7个数,21.68与17相差5左右，这表明下一次降雨量小于320mm的旱灾年将发生在四年后。,
