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1、1,第三讲 Newton插值,2,第三讲主要知识点,牛顿（Newton）插值及余项、差商的定义与性质；埃尔米特(Hermite)插值公式及余项；等距节点的多项式插值、分段低次多项式插值、三次样条插值* 。,3,函数插值问题描述,设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式,以便于计算点 的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。,4,Newton插值,求作n次多项式 使得：,5,插值问题讨论,Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，,全部基函数 li(x) 都需重新算过。,6,Newton插值的承袭性,7,Newton插
2、值,8,具有承袭性的插值公式,线性插值公式可以写成如下形式： 其中 ，其修正项的系数 再修正 可以进一步得到拋物插值公式其中以上讨论说明，为建立具有承袭性的插值公式，需要引进差商概念并研究其性质。,9,差商的概念,1差商的定义,定义1：设有函数f (x)以及自变量的一系列互不相等,的x0, x1, xn （即在i j时，x i xj）的值 f(xi) , 称,为f (x)在点xi , xi处的一阶差商，并记作f xi , xj，,10,差商的概念(续),又称,为在点 处的二阶差商,称,为f (x)在点处的n阶差商。,11,差商表,由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。,12,差商形式
3、的插值公式,再考虑拉格朗日插值问题：问题 求作次数 多项式 ，使满足条件， 利用差商其解亦可表达为如下形式： 这种差商形式的插值公式称为牛顿插值公式。,13,Newton插值,容易证明牛顿插值多项式满足插值条件。由插值多项式的唯一性，得,牛顿插值多项式的误差估计,14,Newton插值(续),牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，,只要再增加一项就行了，即有递推式:,15,例题分析,16,例题分析（续1）,17,例题分析（续2）,18,Hermite插值多项式,要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。,在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅,把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite）
4、,插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H (x)。,19,Hermite插值多项式（续1）,N 1, N 个条件可以确定 阶多项式。,20,已知函数 在区间a,b上n个互异点 处的函数值 ，,以及导数值 ，求,使得满足插值条件,Hermite插值多项式（续2）,21,简化问题描述,使得满足插值条件,22,Hermite插值多项式,构造各个节点的插值基函数,Hermit插值函数可表成,构造方法：（类似Lagrange 插值基函数）,23,两点三次Hermit插值,使得满足插值条件,已知：,24,两点三次Hermit插值（续1）,直接设,待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆Lagrang
5、e插值基函数的方法，引入四个基函数,使之满足,25,两点三次Hermit插值（续2）,为方便起见，先考虑,的情形。,，,，,，,在一般情形下，只需作变换,26,两点三次Hermit插值（续3）,相应的基函数为：,，,，,，,27,两点三次Hermit插值（续4）,从而Hermite插值多项式为,28,算例：已知对数函数在两点处的值及导数值,用三次Hermit多项式求 的近似值,ln,1.5,=,0.409074,两点三次Hermit插值（续5）,29,一般的Hermit插值,设在n+1个节点,给出函数值和导数值,要求插值多项式 满足,满足这些条件的插值多项式就是Hermit插值多项式。其构造方
6、法和两点情况类似，不再重复。,30,高次插值的龙格现象,对于代数插值来说，插值多项式的次数很高时，逼近效果往往很不理想。例如，考察函数 ,设将区间 分为 等份， 表取 个等分点作节点的插值多项式，如下图所示，当 增大时， 在两端会发出激烈的振荡，这就是所谓龙格现象。,31,龙格现象,32,分段插值的概念,所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先将所考察的区间作一分划 并在每个 子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一起，作为整个区间 上的插值函数，即称为分段多项式。如果函数 在分划 的每个子段上都是 次式，则称为具有分划 的分段 次式。,33,分段
7、插值,1.分段线性插值；2.分段抛物插值；3.分段低次多项式插值；原因：高次插值会发生Runge现象。 逼近效果并不算太好！,34,分段线性插值,满足条件 具有分划 的分段一次式 在每个子段 上都具有如下表达式：,35,分段三次埃尔米特插值,问题 求作具有分划 的分段三次式 ，使成立 解 由于每个子段 上的 都是三次式，且满足埃尔米特插值条件： 所以 其中 ，且有,36,样条函数的概念,所谓样条函数，从数学上讲，就是按一定光滑性要求“装配”起来的分段多项式，具体的说，称具有分划的分段 次式 为 次样条函数，如果它在每个内节点 上具有直到 阶连续导数。点 称为样条函数的节点。 特别地，零次样条
8、就是人们熟知的阶梯函数，一次样条 则为折线函数。,37,样条函数插值,插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。,这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，我们把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数，它所对应的曲线称为样条曲线，其节点称为样点，这种插值方法称为样条插值。,38,样条函数插值（续1）,插值函数。,39,样条函数插值（续2）,f(x),H(x),S(x),注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别 在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值 （除了在2个端点可能需要）；而Hermite 插值依赖于f 在所有插值点的导数值。,40,本讲结束！ 谢谢大家！再见！,
