人民大学应用统计学-4资料

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1、参数估计参数估计 统计推断的分类 统计推断分为参数估计和假设检验两大类。它 们都利用样本信息对总体特征(参数)得出结论， 但两者对样本信息的利用方式不同。 1、参数估计 是指利用一个随机样本的统计值 (样本) 估计总 体的参数值。例如：由样本计算出某市居民人均 月生活费支出550 元，由此推断该市居民人均月 生活费支出额，就是由样本推断总体的过程。 参数估计参数估计 2、假设检验 从总体参数真实值的某种假设出发，再用随机 样本的统计值 (样本信息) 计算某一检验统计量， 以决定接受还是拒绝对对真实总体参数所作的假 设。 也就是说，首先对总体情况作一个假设，然后 用一个随机样本的统计值检验假设的

2、正确与否。 即先设想总体情况，再作抽样和分析样本资料， 因此，它与参数估计不同。其程序为：总体假设 抽样样本分析检验假设的正确性。 参数估计参数估计 以样本的统计值估计总体参数有两种方法： 点估计； 区间估计。 二者均要求以随机方式抽取样本。 参数估计参数估计 1、参数的点估计 以一个最适当的样本统计值代表总体的未知参 数值。称由该方法得出的估计值为点估计值。 一般来说，样本越大、抽样的方法越严谨，估 计值越可信。但点估计的可信度却很难得到。 (例如：亩产量、房改政策的赞成率等) 参数估计参数估计 一、参数点估计的一般提法 设总体 X 的分布函数 F=(x,) 的形式已知， 是待估参数，是 X

3、 的一个样本， 是相应的一个样本观测值，点估计就 是要构造一个适当的统计量，用它 的观测值来估计未知参数。称 为的估计量，称 为的估计值。估计量和估计值统称为估计，记 为 。 () n xxx, 21 L () n XXX, 21 L n xxx, 21 L n XXX, 21 L () n XXX, 21 L () n xxx, 21 L 参数估计参数估计 二、参数点估计的计算 1、矩估计法 用样本各阶原点矩的函数来估计总体各阶原点 矩的同一个函数的方法称为矩估计法。相应的估 计量称为矩估计量。 参数估计参数估计 例：某灯泡厂生产了一批灯泡，从中随机抽取 10只，测得寿命(小时)如下： 10

4、50 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200 试用矩估计法估计该批灯泡的平均寿命及标准 差。 参数估计参数估计 解：该批灯泡的平均寿命为该总体的均值 EX=，其估计值为 总体标准差为 其矩估计值为 ()11471012001050=+=Lx ()()2 2 EXXEDX= ( )59.82682113156091322430 2 2 =xx 参数估计参数估计 如果用样本均值和样本方差估计总体均值与总 体方差，则有 这种用样本数字特征估计与之相应的总体数字特 征的方法是最为常用的估计方法，称为矩估计法 或数字特征法。 ()XX n XXX n i

5、 in = =1 21 1 ,L ()() 2 1 2 21 22 1 ,SXX n XXX n i in = = L 参数估计参数估计 2、顺序统计量法 参数估计参数估计 三、评价估计量的准则 样本指标是一个随机变量，随抽取样本的不同 产生不同的估计值。判断估计量的好坏仅凭某一 次试验的结果是不行的，需要多次反复试验，以 找出符合需要的估计量。评价估计量的好坏有三 个基本要求：无偏性、一致性和有效性。 参数估计参数估计 1、无偏性 无偏性是指在多次反复估计中，各抽样指标的 平均数应等于总体指标。即一个估计量的所有可 能估计值的均值与待估参数的实际值没有偏误。 若估计量的数学期望存在， 且对于

6、任意有，则称 是的无偏 估计量。 ( )=xE () n XXX, 21 L( )E ( )= E 参数估计参数估计 通常称为以作为的估计的系统误 差。无偏估计的实际意义就是无系统误差。 例如，样本方差 S2是总体方差2的无偏估计 量。 ( ) E 参数估计参数估计 2、一致性 在用样本指标估计总体指标时，如果样本容量 充分地大，抽样指标也充分地靠近总体指标。即 当样本容量无限增大时，样本指标和未知总体指 标之间的绝对离差为任意小的概率趋近于 1。 设为参数的估计量，若对任意 ，当 n时，依然收敛于 ，则称 是的一致估计量。 ()1 lim =5，则可把二项分布问题转换为正态 分布问题近似求解

7、。而 () pp n PN1 1 ， p 参数估计参数估计 在显著水平为时，总体比例P 的置信区间 为： 例：估计某城区未安装空调的家庭比例。从一 个随机样本(n=100)中得知有20%的家庭未安装 空调，即p=20%，1- p=80%。试以95%的置信水平 估计总体比例P 的置信区间。 ()() + n pp Zp n pp Zp 11 22 ， 参数估计参数估计 解：已知n=100，p=0.2，1- p=0.8，1- =0.95 因np = 20 5，n (1- p) = 80 5，故总体比例P 的置信 区间为： = 0.20.0784 即0.1216 5，故总体比例P 的置信 区间为：

8、= 0.90.0774 ()() 100 9 . 019 . 0 58. 29 . 0 1 2 = n pp Zp 参数估计参数估计 即0.8226 5，故可认为是大样本。 总体比例P 的置信区间为： =0.60.0490 ()() 100 6 . 016 . 0 96. 16 . 0 1 2 = n pp Zp 参数估计参数估计 即0.551 P 0.649 以95%的置信水平估计该批产品的一级品率在 55.10%64.90%之间。 参数估计参数估计 四、总体方差的估计 因样本方差的期望值 是有偏的，在方差估计中以 作为2的无偏估计量，称n- 1为自由度。 2 n S ( )() 22 11

9、=nSE n () 22 1 = n SE 参数估计参数估计 正态总体方差2的区间估计 假设正态总体的分布是N (,2)，其中和2 均未知。从总体中任意抽取一样本，利用样本方 差对总体方差估计。 总体方差2与样本方差S2满足如下关系 因此 () 2 2 2 1 Sn =()1 2 n () () () = 11 1 1 2 2 2 2 2 21 n Sn nP 参数估计参数估计 总体方差2的置信度为1- 置信区间为 例：某灯具厂为为降低灯泡寿命的不稳定程 度，随机抽取40 个灯泡，测得其平均寿命为4800 小时，样本标准差为300 小时，试以95%的可靠 性估计该灯泡寿命方差的置信区间（已知灯

10、泡寿 命服从正态分布）。 () () () () = 1 1 1 1 1 2 21 2 2 2 2 2 n Sn n Sn P 参数估计参数估计 解：由题意知，n = 40，S = 300，查表得 故2的置信度为95%的置信区间为 =60392.29，148389.28 ()()120.58391 2 025. 0 2 2 =n ()()654.23391 2 975. 0 2 21 = n () () () () = 654.23 30039 120.58 30039 1 1 1 1 22 2 21 2 2 2 2 ， n Sn n Sn 参数估计参数估计 五、两个正态总体的均值差和方差比的

11、区间估计 设为来自总体的样本， 而为来自总体的样本，并且 这两个样本相互独立。设分别为它们的样本 均值，分别为它们的方差。 1 , 21n XXXL() 2 11, N 2 , 21n YYYL() 2 22, N YX、 2 2 2 1 SS 、 参数估计参数估计 1、两个正态总体均值差的置信区间 均为已知时 由于相互独立及， ，有 或 21 2 2 2 1 、 YX、X() 1 2 11, nN X() 2 2 22, nN 21 XX () 2 2 21 2 121 ,nnN+ ()() 2 2 21 2 1 2121 nn XX + ()1 , 0N 参数估计参数估计 故的置信度为1-

12、 的置信区间为 均为未知，但n1、n2都很大 ( 一般 n1、n2都大于50 ) 时，将 作为的置信度为1- 的置信区间。 21 () 2 2 21 2 1221 nnzXX + 2 2 2 1 、 () 2 2 21 2 1221 nSnSzXX+ 21 参数估计参数估计 例：从某市近郊区和远郊区各自独立抽取了50 户农民家庭调查每户每月副业收入额， 元， 元，。以95% 的置 信度估计该市近郊区和远郊区农民平均每月副业 收入差的置信区间。 解：虽然两个总体分布未知，但由于n1= n2= 50，为大样本，故可用z 统计量近似计算。即 650 1 =x 480 2 =x元元，106120 21

13、 =SS () () 22 2 21 2 121212 znSnSxxz+ 参数估计参数估计 代入得 此即125.62，214.38 有95%的把握说该市近郊区和远郊区农户每月副 业收入大约相差125.62 元至214.38 元。 ()() + 50 106 50 120 96. 1480650, 50 106 50 120 96. 1480650 2222 参数估计参数估计 若两个样本是小样本，两个总体均为正态分 布，总体方差未知，但 此时， t ( n1+n2- 2 ) 由此得的置信度为1- 的置信区间为 其中， 22 2 2 1 = ()() 21 2121 11nnS XX + 21

14、()() 2121221 112nnSnntXX+ ()() 2 11 21 2 22 2 11 2 + + = nn SnSn S 2 2 2 1 和 参数估计参数估计 例：为估计磷肥对某种农作物产量的影响，现 选择20 块土壤条件大致相同的土地，其中10 块不 施磷肥，另外10 块施磷肥，得到亩产数如下： 不施磷肥 560 590 560 570 580 570 600 550 570 550 施 磷 肥 620 570 650 600 630 580 570 600 600 580 无论是否施磷肥，单位面积产量都服从正态分 布，且方差相同。试以95%的置信度对二者之差 作出估计。 参数估计参数估计 解：n1 = n2 = 10，为小样本，且。 所以，的估计应使用 t ( n1+n2- 2 ) 由已知条件得， 不施磷肥： 施磷肥： 22 2 2 1 = 12 ()() 21 1212 11nnS XX + ()24001570 2 111 =Snx， ()64001600 2 222 =Snx， 参数估计参数估计 而 所以，的置信区间下限为 =(600- 570)- 20.8=9.2 的置信区间上限为 =(600- 570)+20.8=50.8 故有95%的把握说施磷肥与不施磷肥单位面积产 量之差的置信区间在9.2，50.8之间。