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1、第四章 中国古代数学泰斗 刘徽及其数学成就,第一节 刘徽简介,一、刘徽的生平及成就 刘徽，三国时魏国人，生卒年代不详。山东邹平人（北宋1109年被封为缁乡男），刘徽自幼习九章算术，成年后又进行了深入研究，于公元263年（魏陈留王景元四年）注九章算术，此外，还著有重差一卷，后改名为海岛算经流传至今。 刘徽是中国古代最伟大的数学家和我国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“数学泰斗”与欧几里得、阿基米德齐名。,刘徽的主要贡献： 1.发展了九章算术中“率”的概念； 2.正确地提出了正负数的概念及其加减运算法则，改进了线性方程组的解法； 3.发展了出入相补原理和了重差术； 4.提出了“割圆术”，引入了无穷
2、小分割和极限思想，在中国首次提出了计算圆周率近似值的科学方法； 5.将四面体看成是解多面体体积问题的核心，将多面体的体积理论建立在无穷小分割基础上； 6.提出了截面积原理； 7.创立了求徽数的方法； 8.主张用逻辑推理方法来论证数学命题。,二、刘徽的数学观和科学精神 以算法为中心，密切联系实际，以 与演绎推理相结合，注重数学知识体系的内在联系和转化关系，注重数学中代数与几何的有机结合，言约而用博，具有算法构造性和机械化的思想，各方面的内容想通而又不显繁琐，从而将中国传统数学建立在一个更高层次上。 刘徽学风严谨，善于继承、发掘古人有用的思想，而又不为所囿，富于批判精神；实事求是，谦虚谨慎，对自己
3、未能求出牟合方盖的体积，坦诚直言，展现了一位伟大的学者寄希望于后学的坦荡胸怀。 刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生，他虽然地位低下，但人格高尚，他是不追名利，学而不厌。他的精髓的科学观和为数学不懈奋斗的精神是我们中华民族的一笔宝贵的财富。,三、刘徽的数学学习理论 1.告往知来，举一反三； 2.出入相补，各从其类； 3.析理以辞，解题用图； 4.异词，同归； 5.触类而长，靡所不入； 6.易简用之，动庖丁之理； 7.敢不缺疑，以俟能言。,第二节 刘徽的数学机械化思想,一、率及其应用问题解法程序 九章算术在有的术文和题目中使用了率，二刘徽视率为运算的纲纪，将率的应用扩展到大部分算法的论证和二百个作用
4、题目的算法中 1.比例的最基本算法程序今有术（计算比例中的某一项） 今有术用现在方法表示；若AB=ab，则 2.最基本算法程序原理齐同术（通分运算） 齐同术来源于分数运算，如： ，“母互乘子谓之齐，群母相程谓之同”，刘徽解释为：“同”是一群分数的公分母，“齐”是由“同”而来，是为了使分数之值不变。用诸分数分母的最小公倍数去求“同”、“齐”的方法：“母除率，率乘子为齐”，“率”是诸分母的最小公倍数。,2.最基本算法程序原理齐同术（通分运算） 推广：设有两种率： ,齐同术如下： 于是得到一组率： 若是k=2,n=3 ,即为通分运算，而且对于多余两组的若干组率，也可以仿此齐同程序化为相应的率用于计算
5、。,3.比例应用问题的解法程序 九章算术中的粟米、衰分、均输等章都是专门讲用比例方法解决各种应用问题的。 衰分就是差分，按比例分配的意思。九章算术给出一般衰分问题的算法：（例衰分章第二题）,第一步，各置列衰，副并为法； 第二步，以所分乘未并者各自为实； 第三步，实如法而一，不满法者，以法命之。,“返衰分”术：若以 就成为“返衰分术。”均输问题可以归结为这类问题。,二、刘徽对“方程”机械化程序的贡献,1.刘徽的互乘相消程序 “方程”第7问：今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？ 答曰：牛一直金一两二十一分两之一十三。羊一直金二十一分两之二十。,2.刘徽对“方程”解法
6、程序的理论贡献,互乘法消元的理论基础：方程的某一行或行的倍数与另外的行相减，得到与原方程同解的方程。这就是两行相减不影响方程的解的原理。这与现今理论一致。,3.正负数的引入是“方程”算法机械化的结果,第8题：今有卖牛二，羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三，豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊，八豕，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？ 答曰：牛价一千二百。羊价五百。豕价三百。 术曰：如方程。置牛二，羊五正，豕一十三负，余钱数正；次，牛三正，羊九负，豕三正；次五牛负，六羊正，八豕正，不足钱负。以正负术入之。,意思是：若每头牛、羊、猪的价格分别用 表示，则可列出如下的方程组,正负术：今两算得
7、失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以斜正为异。 刘徽认为：言负者未必负于少，言正者未必正于多。,正负数的运算法则：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。 异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。 前四句是正负数的减法法则：,（同名相除） （异名相益） （正无入负之，负无入正之）,后四句是正负数的加法法则：,（异名相除） （异名相益） （同名相益） （正无入正之，负无入负之）,正负数概念的引入，到正负数加减运算法则的形成的历史记录，我国遥遥领先。 印度承认复数是公元7世纪；欧洲是公元13世纪。,正负数的引入是“方程”算法机械化的结果,在未引入负数的早期代数里，贾宪认为大抵是这
8、样求解方程的。,第三节 刘徽的“割圆术”无穷小分割和极限方法,刘徽首创“割圆术”，证明了圆面积的精确公式，在此基础上开创了求圆周率的科学方法，是无穷小分割和极限方法的完美结合，从而打开了通向微积分的门槛。 一、证明圆面积公式,刘徽从圆内接正6边形开始割圆，再得到正12边形，正24边形，“割之弥细，所失越少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”设 是 边形的面积，是边长，这就是：,在每一次分割中，圆内接正多边形的每边与圆周之间都有一个余径，若将每边长乘以余径，加到正多边形面积上去，则其和又大于圆面积，即,割之又割，余径越来越小，有,将圆进行无穷小分割，得到与圆合为一体的正多边形，以
9、正多边形的边为底，以圆的半径为高的小等腰三角形。由于每个三角形的面积等于底边乘以半径的一半，所以，圆的面积等于这无穷多个小三角形面积的和。,这样，通过无穷小分割，然后求其极限状态的和，就得到了圆面积公式为圆周长与半径乘积的一半。,二、科学推求圆周率,刘徽的“割圆术”的意义不仅证明了圆面积的精确公式，而且开创了求圆周率的科学方法。刘徽取直径为2尺的圆，从圆内接正6边形开始可到了一个序列。其中一些量的数值可按下面的公式推导：,刘徽算到了2的10次幂的面积值，算得圆周率的近似值3.1416。,刘徽算到了2的10次幂的面积值，算得圆周率的近似值3.1416。,第四节 刘徽的出入相补原理,一、刘徽利用出
10、入相补原理对平面图形面积的证明 出入相补原理：一个平面图形从一处移置他处，面积不变；又若把图形割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体图形的情形也是这样。 1.刘徽对勾股定理的证明,2.测海岛的高（二次测望问题）,刘徽术曰：,吴文俊先生认为：（J-代表矩形）,3.勾股容圆,九章算术有“勾股容圆”问：已知勾、股，求勾中容圆径。,刘徽的出入相补法： 两个勾股形拼成一个长方形，面积为ab，如图剖开，再两倍，则可拼成以径d为宽，以勾、股、弦的和(a+b+c)为长的长方形，其面积为2ab,从而，,我们现在的作法：,4.出南北门求邑方,将问题
11、中的图示补充成为长方形，设邑方的边长为x,容横容直原理：两矩形面积相等,二、刘徽原理,刘徽把平面图形的出入相补原理推广到空间图形，称为“损广补狭”，以证明几何体的体积公式。 刘徽用无穷小分割原理和极限方法证明了： 邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。,堑堵：两底面为直角三角形的正柱体亦即长方体的斜截平分体。 阳马：底面是长方形，有两个侧面互相垂直的四棱锥。 鳖臑：三棱锥（四面体）。,如图，用三个互相垂直的平面分别平分堑堵的长、宽、高，那么：其中的阳马被分割成一个小长方体，两个小堑堵、，两个小阳马、；鳖臑被分割成两个小堑堵、，两个小鳖臑、。显然，小堑堵和、和分别可以拼
12、成和全等的小长方体；小阳马和小鳖臑、小阳马和小鳖臑分别是两个小堑堵，又可以拼成第四个全等的小长方体。在小长方体、中，属于阳马的和属于鳖臑的体积的比是21，所谓“别种而方者率居三”，即在其中两小堑堵的结构和原堑堵完全相似，所谓“通其体而方者率居一”。显然，上述分割过程完全可以继续在剩余的两个小堑堵中施行，又可以证明在之，安取余哉？”就是在整个堑堵中证明了（3）式。,刘徽用无限分割的方法解决锥体体积时提出的一条重要原理：将一个堑堵（用一平面沿长方体相对两棱切割得到的楔形立体）分解为一个阳马（直角四棱锥）与一个鳖臑（四面均为直角三角形的四面体），则“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”，即一个堑堵内阳马
13、的体积与鳖臑的体积之比恒为21。这个原理是证明九章算术中提出的阳马体积公式和鳖臑体积公式的关键。在长、宽、高相等的情形中上述原理和公式是显然的，但是刘徽认为这不能简单地推广到长、宽、高不等的一般情形。于是他提出并用极限方法证明了上述原理。他用三个互相垂直的平面平分堑堵的长、宽、高，则阳马分成一个小立方，两个小堑堵、和两个小阳马、,鳖臑分成两个小堑堵、和两个小鳖臑 、。它们可以拼成四个小立方:、-、-。显然,在前三个小立方中，亦即在堵的四分之三中，属于阳马与属于鳖臑的体积之比为21，第四个小立方中体积之比尚未知，但它的两小堑堵的构成与原堑堵完全相似，且其长、宽、高为原堑堵的一半。对这两个小堑堵重复上述的分割、拼合，即“置余广、袤、高之数各半之，则四分之三又可知也”。如此继续下去，“半之弥少，其余弥细,至细曰微,微则无形。由是言之，安取余哉？”从而在整个堑堵中证明了刘徽原理。由此原理，阳马和鳖臑体积公式是显而易见的。刘徽把四面体看成解决多面体体积问题的关键，明确指出：“不有鳖臑，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也”，这完全符合现代数学的观点。,
