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1、1高等数学 极限与连续 题型一：求极限 1计算极限)21ln(arcsinlim20xxxxx+. 2设 )(xf 在 0=x 处三阶可导，且 1)(lim20=xxfx，求3)(02limxeexxfx. 3计算极限xxxe )1(ln(lim +. 4计算极限xxxxx2arctan10)sin(lim. 5计算极限 _arctan)ln(32lim20=+xxexxx. 6计算极限11)11()21)(11(lim+nnnnnnL. 题型二：含参数的极限问题 1求常数 nm, ，使得 3)1sin(lim221=+xnmxxx.2设 1)1ln( + bxeax是比2x 高阶的无穷小，求
2、 ba, . 题型三：极限存在性 1计算极限 cos12cos1cos11limnnnnnn+L. 2计算极限 )2211(lim232232232nnnnnnnnnnnn+L.3设 01,111=+=+ nnaaa ，证明数列 na 收敛，并求nnalim .题型四：间断点判断 1讨论函数xxexf=111)( 的连续性. 23讨论函数xxxexfxtansin)(11arctan+=的连续性 .题型五：闭区间上连续函数的性质 1设 )(xf 在 ), +a 上连续，且 Axfx=+)(lim ，证明： )(xf 在 ), +a 上有界 .2设 )(xf 在 , ba 上连续，任取 , ba
3、xi （ ni ,2,1L= ） ，任取 0ik （ ni ,2,1L= ） ，证明：存在 , ba ，使得 )()()()()(212211fkkkxfkxfkxfknnn+=+LL.微分学 题型一：导数定义问题 1设 )2(f 存在，求hhfhfh)2()32(lim220+.2设 )(xf 在 1=x 处连续，且 21)(lim21=xxfx，求 )1(f .题型二：各种函数求导 1设 )tan1ln(111sin2xxxeyx+= ，求dxdy.2设 123+= yxexy，求0|=xdxdy.3设+=+=121222tyetxyt，求dxdy.4+=+=13)2tan()1ln(tt
4、ytxxt，求dxdy.5设 )(xf 连续，且=xdttxtfxg02)()( ，求 )(xf .6设61)(2=xxxf ，求 )0()(nf . 题型三：用中值定理证明等式 1设 )(),( xgxf 在 , ba 上连续，在 ),( ba 内可导，且 0)()( = bfaf .证明：存在),( ba ，使得 0)()()( =+ gff .2设 ,)( baCxf ，在 ),( ba 内可导 )0( a ，证明：存在 ),( ba ，使得 3222ln)(lnlnbaababba= .3 设 )(xf 在 )0(, aba 上连续，在 ),( ba 内可导，且 ),(0)( baxx
5、f ，证明： 存在 ),(, ba ，使得 )(2)( fbaf += .4设 ,)( baCxf ，且 0)()( +af ，证明：存在 ),( ba ，使得0)( aa 上二阶可导， Mxf |)(| ，且 )(xf 的最大点在 ),0( a 的内部，证明： Maaff + |)(|)0(| .3设 )(xf 在 , ba 上二阶可导， 0)( xf ，对任意的 , baxi （ ni1 ）及 0ik（ ni1 ） ，证明： )()()()(22112211 nnnnxfkxfkxfkxkxkxkf +LL.题型五：极值与单调性问题 1设 )(xf 满足xexfxxfx=+ 1)(3)(2
6、，且 )(xf在 0=x 处连续，证明： （ 1）若 )(xf 在 0a 处有极值，则 ax = 为极小点； （ 2）若 )(xf 在 0=x 处取得极值，问 0=x 为极大点还是极小点？ 2设 )(xf 二阶连续可导，32)2()(lim32=xxfx，则（ ） )(A )2(f 是 )(xf 的极小值 .)(B )2(f 是 )(xf 的极大值 .4)(C )2(,2( f 是曲线 )(xfy = 的拐点 .)(D )2(f 不是函数 )(xf 的极值点， )2(,2( f 也不是曲线 )(xfy = 的拐点 .题型六：不等式的证明 1当 0x 时，证明212)1ln(arctan +xx
7、.2证明当 0x 时，22)1(ln)1( xxx . 题型七：讨论方程根的个数 1设 )(xf 在 ),0 + 内二阶可导， 0)(,1)0(,2)0( = xfff ，证明： 0)( =xf 在),0( + 内有且仅有一个根 .2设 )2()(2+= nxxxxfnnL.（ 1）证明方程 1)( =xfn有唯一的正根nx ； （ 2）求nnxlim .题型八：渐近线 1曲线11211+=xexxy 的渐近线的条数为（ ） )(A 0 条 . )(B 1 条 . )(C 2 条 . )(D 3 条 .题型九：讨论多元函数的连续性、可偏导性及可微性 1讨论函数22),( yxyxf += 在
8、)0,0( 点处的连续性与可偏导性. 2讨论函数=+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf 在点 )0,0( 处的连续性、可偏导性与可微性 . 题型十:多元函数的偏导数 1设 ),( xzyxfu += 有二阶连续的偏导数，则 =zxu2（ ） )(A2212112)( fxzfzxfxf + ； )(B2212fxzfx + ； )(C22122fxzfxf + ； )(D22fxz 。 52设 )(),(22xyygxyxxfzy+= ，其中 gf , 分别二阶连续可偏导及二阶可导，求yxz2。 题型十一:隐函数（组）的偏导数 1设 )(zfu =
9、 ，其中 z 是由 )(zxyz += 确定的 yx, 的函数，其中 )(zf 与 )(z ，证明： yuzxu=)( 。 题型十二:多元函数几何应用（限数学一） 1求曲面 52222=+ zyx 与平面 122 =+ zyx 平行的切平面. 2 求曲线=+=+06222zyxzyx在点 )1,2,1( 处的切线与法平面 . 题型十三:多元函数求极值 1求函数22212 yxyxz += 在区域 254:22+ yxD 上的最值 .2求椭球 )0,0,0(1222222=+ cbaczbyax内接长方体的最大体积 . 积分学 题型一：不定积分的计算 1计算不定积分 dxxx+ )4(12. 2
10、计算不定积分+dxexxxcos1sin1. 题型二：定积分的计算 1计算定积分+4542)sin1(dxx . 2计算定积分 dxexx+4421sin. 3计算定积分 dxxxx)cos111sin(22107+. 题型三：定积分的证明 1设 )(xf 在 1,0 上可微，且 0)(2)1(210=dxxxff ，证明：存在 )1,0( ，使得 6)()(ff = .2设 )(xf 在 )0(, aaa 上二阶连续可导，且 0)0( =f .（ 1）写出 )(xf 的带拉格郎日余项的一阶马克劳林公式； （ 2）证明：存在 , aa ，使得=aadxxffa )(3)(3 .3 )(xf 在
11、 ),0( + 上连续且单调减少，证明：+=+ nnkndxxffkfdxxf1111)()1()()( .4设 )(xf 在 1,0 上连续可微，且 0)1()0( = ff ，证明： |)(|max41)(1010xfdxxfx.题型四：广义积分的计算 1计算广义积分31)3)(1( xxdx. 2计算广义积分+11xxdx. 题型五：定积分的实际应用 1由曲线24 xy = 与 x 轴围成的部分绕直线 3=x 旋转一周所成的几何体的体积 .2设曲线 1= xy ，过原点作起切线，求此曲线、切线及 x轴所围成的平面图形绕 x轴一周所成的旋转体的表面积 . 题型六：二重积分的计算 1改变积分
12、次序：+212141410),(),(yyydxyxfdydxyxfdy .2改变积分次序并计算 dxexdyyx12102.3计算二重积分+Ddxdyyx )( ，其中 xyxD 2:22+ .4计算二重积分Ddxdyy2，其中 D是由 2,2,22= yxxxx 围成的区域 .题型七：三重积分的计算（限数学一） 1 求+Vdvzyx )(22， 其中 V 是由曲线=022xzy绕 z 轴旋转一周而成的曲面与 4=z 所7围成的立体 . 2设 )(uf 可微，且 0)0( =f ，求+ dxdydzzyxftt)(1lim22240，其中2222: tzyx + . 题型八：曲线与曲面积分的
13、基本计算（限数学一） 1在过点 )0,0(O 和 )0,(A 的曲线族 )0(sin = axay 中，求一条曲线 L ，使沿该曲线从点 O到 A的积分+=LdyyxdxyI )2()1(3的值最小 .2求曲面积分+ dzdxydydzx22，其中=+=xzyxz22: 取下侧 . 题型九：格林公式与高斯公式（限数学一） 1设 L 为曲线 1| =+ yx 的逆时针方向，求+Lyxdyyxdxyx224)4()(.2设 是球面 4222=+ zyx （ 0z ）的外侧，计算+ dxdyyzdzdx 2 .题型十：曲线积分与路径无关的问题（限数学一） 1设曲线积分+Ldyxydxxy )(2 与
14、路径无关，其中 连续可导，且 0)0( = ，计算 +)1,1()0,0(2)( dyxydxxy .2设 )0()(2+AyxydxxdyL，其中 L 是任一条光滑正向闭曲线， 1)1( = 且原点在其所围成的区域之外 .（ 1）求 )(x ； （ 2） 设 C 为由点 )0,(aA （ 0a ） 经过上半平面到 )0,( aB 的任意曲线段， 求+Cyxydxxdy2)(.题型十一：曲线与曲面积分的实际应用（限数学一） 1位于点 )1,0( 的质点 A对质点 M 的引力大小为2rk（其中常数 0k ，且 | AMr = ） ，质点 M 沿曲线22: xxyL = 自点 )0,2(B 到点 )0,0( ，求质点 A对质点 M 所做的功 .空间解析几何（限数学一） 题型一：求平面与直线方程 1设点 )2,3,5(),1,2,3(),1,1,1( CBA ，判断三点是否共线，若不共线求过三点的平面的8方程 .2 设直线 l过点 )
