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1、第七章 线性离散系统的分析和校正脉冲技术、数字式元部件、数字计算机，特别是微处理器的发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器。离线系统理论是分析和设计数字控制系统的基础理论。离散系统与连续系统相比，既有本质上的不同，又有分析研究方面的相似性。（ Z变换）本章主要讨论线性离散系统的分析和校正方法。首先建立信号采样和保持的数学描述，然后介绍 z 变换理论和脉冲传递函数，最后研究线性离散系统稳定性和性能的分析和校正方法。本章内容 7-1 .离散系统的基本概念 7-2. 信号的采样和保持 7-3. Z变换理论 7-4. 离散系统的数学模型 7-5. 离散系统的稳定性与稳态误差 7-6. 离散系统的动
2、态性能分析 7-7. 离散系统的数字校正 7-8. Matlab在离散系统中的应用 7-9. 离散控制系统设计7-1 .离散系统的基本概念本节内容1.采样控制系统2.数字控制系统3.离散控制系统的特点4.离散系统的研究方法1.采样控制系统 （ 也称脉冲控制系统，时间上离散，幅值上连续）检流计是一个高灵敏度的元件，不允许指针与电位器之间有摩擦力，故由凸轮带动检流计指针周期性的上下运动。若被控对象是高炮，惯性小，精度要求高，快速性好，则需要保持。某些高灵敏度的检测器只能提供离散检测信号。炉温控制系统用热电偶足以。1）信号采样和复现采样： 把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程，简称采样，实现采
3、样的装置称为 采样器 ，或称 采样开关 。在实际应用中，采样开关多为电子开关，闭合时间极短，采样持续时间 远小于采样周期 ，也远小于系统连续部分的最大时间常数。为了简化系统分析，可以认为 趋于零，即把采样器的输出近似看成是一串理想脉冲 ，数值等于相应采样瞬时误差信号 的幅值。复现： 在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程。实现复现过程的装置称为 保持器 。 T*()et零阶保持器（外推）()et2）采样系统的典型结构采样系统的典型结构图在各种采样控制系统中，用的最多的是 误差采样控制的闭环采样系统， 其典型结构如上图所示。图中， 为理想采样开关，其采样瞬时的脉冲幅值，
4、等于相应采样瞬时误差信号 的幅值，且采样持续时间 趋于零； 为保持器的传递函数； 为被控对象的传递函数； 为测量变送反馈元件的传递函数。S()et ()hGs0()Gs ()Hs当采样开关和系统其余部分的传递函数都具有线性特性时，这样的系统就称为 线性采样系统。2.数字控制系统 （ 也称计算机控制系统，时间和幅值上都是离散的）计算机控制系统典型原理图 严格讲，此图不一定对。被控对象中包含了放大器，执行器等再看一例计算机控制系统：P9，图 1-123）数字控制系统的典型结构图/AD 转换器是把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置。它的转换包括两个过程：一是采样过程；二是量化过程，计算机中任何数
5、值的离散信号必须表示成二进制数才能进行运算。/DA 转换器是把离散的数字信号转换为连续的模拟信号的装置。它的转换也经历两个过程：一是解码过程，把离散数字信号转换为离散的模拟信号；二是复现过程，经过保持器将离散的模拟信号复现为连续的模拟信号。1）2）数字控制系统典型结构图ee此图将数字控制器的控制律用线性连续系统传递函数来代替了。3.离散控制系统的特点采样和数控技术，在自动控制领域中得到了广泛的应用，其主要原因是采样系统，特别是数字控制系统较之相应的连续系统具有一系列的特点：1）由数字计算机构成的数字校正装置，效果比连续式校正装置好，且由软件实现的控制律易于改变，控制灵活。2）采样信号，特别是数
6、字信号的传递可以有效的抑制噪声，从而提高了系统的抗扰能力。3）允许采用高灵敏度的控制元件，以提高系统的控制精度（有些高灵敏度的检测元件提供的检测信号就是离散的）。4）可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备的利用率，经济性好。5）对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可以引入采样的方式稳定。4.离散系统的研究方法由于在离散系统中存在脉冲或数字信号，如果仍沿用连续系统中的拉氏变换方法来建立系统各个环节的传递函数，则在运算过程中会出现 复变量 s的超越函数 。为了克服这个障碍，需要采用 Z变换法 建立离散系统的数学模型。通过 Z变换处理后的离散系统，可以把用于连续系统中的许多方法，例如稳定
7、性分析、稳态误差计算、时间响应分析及系统校正方法等，经过适当改变后直接用于离散系统的分析和设计中。另外，离散系统的状态空间法也是广泛应用。7-1 .信号的采样和保持本节内容1.采样过程2.采样过程的数学描述3.香农采样定理（必考）4.采样周期的选取5.信号保持离散系统的特点是，系统中一处或数处的信号是脉冲序列或数字序列。 为了把连续信号变换为脉冲信号，需要使用采样器；另一方面，为了控制连续式元部件，又需要使用保持器将脉冲信号变换为连续信号。因此，为了定量研究离散系统，必须对信号的采样过程和保持过程用数学的方法加以描述。1.采样过程实际采样过程理想采样过程理想采样过程对于具有有限脉冲宽度的采样系
8、统来说，要准确进行数学分心是非常复杂的，且无此必要。考虑到采样开关的闭合时间 非常小，通常为毫秒到微妙级，一般远小于采样周期 T和系统连续部分的最大时间常数。因此在分析时，可以认为 ，这样， 采样器就可以用一个理想采样器来代替。采样过程可以看做是一个幅值调制过程。理想采样器好像是一个载波为 的幅值调制器，其中为理想单位脉冲序列。 理想采样器的输出信号 可以认为是输入连续信号 调制在载波 上的结果，而各脉冲强度用其高度来表示，它们等于相应采样瞬时时的 幅值 。 用数学形式描述上述调制过程，有0()Tt ()Tt*()et ()et()Tt t nT()et* ( ) ( ) ( )Te t e
9、t t理想单位脉冲序列 可以表示为()Tt0( ) ( )Tnt t nT其中， 是出现在时刻 时，强度为 1的单位脉冲，故有()Tt t nT0( ) ( )Tnt t nT*0( ) ( ) ( )ne t e t t n T由于其数值仅在采样瞬时才有意义， 所以上式又可以表示为*0( ) ( ) ( )ne t e n T t n T值得注意，在上述的讨论中，假设了因此脉冲序列从零开始。这个前提在实际控制中，通常都是满足的。( ) 0 , 0e t t * ( ) ( ) ( )Te t e t t(背过）2.采样过程的数学描述采样信号 的数学描述可分 采样信号的拉氏变换 和 采样信号的
10、频谱 两方面讨论。*()et1）采样信号的拉氏变换对采样信号 进行拉氏变换，可得*()et *0( ) ( ) ( ) ( )nE s L e t L e nT t nT 根据拉氏变换的位移定理，有 0( ) ( )n T s s t n T sL t n T e t e d t e 所以， 采样信号的拉氏变换 为*0( ) ( ) nTsnE s e n T e 应当指出，上式将 与采样函数 联系了起来，可以直接看出 的时间响应。但是， 由于 只描述了 在采样瞬时的数值，所以 不能给出连续函数 在采样间隔之间的信息， 这是需要强调指出的。还应当指出，采样 的拉氏变换 与连续信号 的拉氏变换
11、非常类似。因此，如果 是一个有理函数，则无穷级数 也总是可以表示成 的有理函数形式（闭合形式）。另外， 如果用拉氏变换研究离散系统，尽管可以得到的有理函数，但是确是一个复变量 s的超越函数，不便于分析和设计。 为了克服这个困难，通常采用 Z变换法研究离散系统。 Z变换可以把离散系统的 s超越方程，变换为变量 z 的代数方程。*()Es ()enT *()et*()et ()et *()Es()et*()et *()Es ()et ()Es()et *()Es Tse是否收敛？收敛后为复变量 s 的超越函数。*0( ) ( ) ( )ne t e n T t n T（广义脉冲传递函数的筛选性质，
12、 P319）(背过）2）采样信号的频谱由于采样信号的信息并不等于连续信号的全部信息，所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。研究采样信号的频谱，目的是找出 与之间的相互联系，进而推导出香农采样定理。*Es Es0( ) ( )Tnt t nT由 表明，理想单位脉冲序列 是一个周期函数，可以展开为()Tt如下的傅里叶级数形式： ()sjn tTnnt c e 式中， 为采样角频率； 是傅里叶系数，其值为2s T nc 221 () sT jn tTnTc t e dtT 由于，在 区间中， 仅在 时有值，且 ，所以,22TT ()Tt 0t 0 1sjn t te 0011()nc
13、t d tTT（ 1）将上式代入（ 1），得到1() sjn tT nteT （ 2）将（ 2）代入 得到* ( ) ( ) ( )Te t e t t* 1( ) ( ) sjn tne t e t eT 上式两端取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定理，得到* 1( ) ( )snE s E s jnT * 1( ) ( )snE s E s jnT 这个式子在描述采样过程的性质方面是十分重要的，因为该式提供了理想采样器在频域中的特点。在上式中，如果 没有右半平面的极点，则可令 ，得到 采样信号 的傅里叶变换*()Es sj*()et * 1( ) ( )snE j E j nT 其中， 为连
14、续信号 的傅里叶变换。()Ej ()et * 1( ) ( )snE j E j nT 一般来说 ，连续信号 的频谱 是单一的连续频谱，如下图所示，其中为连续频谱 中的最大角频率；而采样信号 的频谱 ，则是以采样频率 为周期的无穷多个频谱之和，每个的形状与连续信号频谱一致，只是幅值为其 ，如图所示。()et ()Ej h()Ej *()et *()Ejs0n形状一致，仅幅值缩小了 T倍理想滤波器的频率特性1Thh hh hh hhhh3.香农（ Shannon)采样定理 (必考）在设计离散系统时，香农定理是必须严格遵守的一条准则，因为它指出了从采样信号不失真的复现原连续信号所必需的理论上的最小
15、采样周期 T4.采样周期的选取采样周期选择得当是连续信号可以从采样信号中复现的前提。然而理想滤波器实际上并不存在，因此只能用特性接近理想滤波器的低通滤波器来代替。零阶保持器是常用的低通滤波器之一。为此需要研究信号保持过程。5.信号保持（此图要求会画）（必考）P3197-3. Z变换理论 （记忆）线性连续系统 可用拉氏变换分析动态及稳态性能。与此类似，线性离散系统可以用 Z变换的方法来分析动态及稳态性能。Z变换是从拉氏变换直接引申出来的一种变换方法，它实际上是采样函数拉氏变换的变形，故又称采样拉氏变换。本节内容1.Z变换定义2.Z变换的求法3.Z变换性质4.Z反变换5.关于 Z 变换的说明1. Z变换定义2. Z变换的求法介绍三种求法7-6说明，相同的 Z变换函数对应于相同的采样函数，但是不一定对应相同的连续函数。7-81此题，也可以直接查表获得， 可简写做 ( ) ( )E z Z E sP322，常用时间函数的 Z变换表如表
